数值分析实验报告4

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1、一、实验名称数值积分与数值微分二、目的和意义1、深刻认识数值积分法的意义；2、明确数值积分精度与步长的关系；3、根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。三、计算公式复化梯形公式：复化Simpson公式：四、结构程序设计l先建立两种复化公式的函数文件，即复化梯形公式为trap.m、复化Simpson公式为simpson.m，两个函数的源程序如下：（1）复化梯形公式trap.mfunctionT=trap(f,a,b,n)%trap.m%复化梯形公式求积分值%f为积分函数%[a,b]为积分区间

2、%n是等分区间份数h=(b-a)/n;%步长T=0;fork=1:(n-1)x0=a+h*k;T=T+limit(f,x0);endT=h*(limit(f,a)+limit(f,b))/2+h*T;T=double(T);（2）复化Simpson公式simpson.m:functionS=simpson(f,a,b,n)%simpson.m%Simpson公式求积分值%f为积分函数%[a,b]为积分区间%n是等分区间份数h=(b-a)/(2*n);%步长s1=0;s2=0;fork=1:nx0=a

3、+h*(2*k-1);s1=s1+limit(f,x0);endfork=1:(n-1)x0=a+h*2*k;s2=s2+limit(f,x0);endS=h*(limit(f,a)+limit(f,b)+4*s1+2*s2)/3;S=double(S);l用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分值，程序设计如下：formatlong;symsx;f=sym('********');%被积函数a=********;b=********;%积分限n=********;%作1,2,3,…,n次区间

4、等分%复化梯形公式T=zeros(n,1);fori=1:nT(i)=trap(f,a,b,i);end%复化Simpson公式;S=zeros(n,1);fori=1:nS(i)=simpson(f,a,b,i);endl编写Romberg积分法的函数M文件romberg.m，源程序如下：function[I,T]=romberg(f,a,b,n,Eps)%Romberg积分计算%f为积分函数%[a,b]为积分区间%n+1是T数表的列数目%Eps为迭代精度%返回值中I为积分结果,T是积分表ifna

5、rgin<5Eps=1E-6;endm=1;h=(b-a);err=1;j=0;T=zeros(4,4);T(1,1)=h*(limit(f,a)+limit(f,b))/2;while((err>Eps)&(j

6、(j<4)j=j+1;h=h/2;s=0;forp=1:mx0=a+h*(2*p-1);s=s+limit(f,x0);endT(j+1,1)=T(j,1)/2+h*s;m=2*m;fork=1:jT(j+1,k+1)=T(j+1,k)+(T(j+1,k)-T(j,k))/(4^k

7、-1);enderr=abs(T(j,j)-T(j+1,k+1));endI=T(j+1,j+1);ifnargout==1T=[];endl用Romberg算法计算积分值，程序设计如下：symsx;%创建符号变量f=sym('********')%符号函数[I,T]=romberg(f,0,1,3,1E-6)%积分计算一、结果讨论和分析l选用复化梯形公式和复化Simpson公式，依次计算所给函数在已知区间上的积分值。计算积分（1），只需将上述程序做适当补充和完善，具体如下：formatlongsy

8、msx;f=sym('(4-sin(x)*sin(x))^(1/2)');a=0;b=pi/4;n=20;%复化梯形公式T=zeros(n,1);fori=1:nT(i)=trap(f,a,b,i);end%复化Simpson公式;S=zeros(n,1);fori=1:nS(i)=simpson(f,a,b,i);end%准确值I=int(f,a,b);I=double(I);%画图作出直观观察x=[];x=1:n;figure;plot(x,ones(1,n)*I,'-');holdon;plo

9、t(x,T','r--','LineWidth',2);plot(x,S','m.-','LineWidth',1);gridon;title('两种复化公式积分效果对比图');legend('准确值曲线','复化梯形公式','复化Simpson公式');holdoff;disp('复化梯形公式复化Simpson公式');disp([TS]);运行结果如下：复化梯形公式复化Simpson公式1.5200708733061361.5345392789244591.530