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1、数值分析实验报告（第二章）实验题目：分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程fx=x2+1x-15=0的根x=1，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。问题分析：题目有以下几点要求：1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。2.选定不同的初始值，比较收敛性。实验原理：各个迭代法简述二分法：取有根区间[a,b]的重点x0，确定新的有根区间[a1,b1]的区间长度仅为[a,b]区间长度的一版。对压缩了的有根区间[a1,b1]重复以上过程，又得到新的有根区间[a2,b2]，其区间长度为[a1,b1]的一半，如此反复，……，可得
2、一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为xn+1=xn-fxnf'xn,n=0,1,2,…割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618.迭代格式为xn+1=xn-fxnfxn-fxn-1xn-xn-1,n=1,2,…史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为yn=φxnzn=φynxn+1=xn-(yn-xn)2zn-2yn+xn这里φx可采用牛顿迭代法的迭代函数。实验内容：1.写出该问题的fx函数代码如下：fu
3、nctionpy=f(x)symsk;y=(k^2+1)*(k-1)^5;yy=diff(y,k);py(1)=subs(y,k,x);py(2)=subs(yy,k,x);end2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下：二分法：functiony=dichotomie(a,b,e)i=2;m(1)=a;whileabs(a-b)>et=(a+b)/2;s1=f(a);s2=f(b);s3=f(t);ifs1(1)*s3(1)<=0b=t;elsea=t;endm(i)=t;i=i+1;endy=[t,i+1,m];end牛顿迭代
4、法：functiony=NewtonIterative(x,e)i=2;en=2*e;m(1)=x;whileabs(en)>=es=f(x);t=x-s(1)/s(2);en=t-x;x=t;m(i)=t;i=i+1;endy=[x,i+1,m];end牛顿割线法：functiony=Secant(x1,x2,e)i=3;m(1)=x1,m(2)=x2;whileabs(x2-x1)>=es1=f(x1);s2=f(x2);t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1(1));x1=x2;x2=t;m(i)=t;i=
5、i+1;endy=[x2,i+1,m];end史蒂芬森迭代法：Functionp=StephensonIterative(x,e)i=2;m(2)=x;en=2*e;whileabs(en)>=ey=fai(x);z=fai(y);t=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);en=t-x;x=t;m(i)=t;i=i+1;endp=[x,i+1,m];end1.因为φx经常被使用，故可以写一个φx函数。代码如下：functiony=fai(x)s=f(x);y=x-s(1)/s(2);end2.可以绘制不同的图形来比较不同迭代法的
6、收敛性和不同初值下的收敛性。代码如下：clearall;%相同初始值，不同迭代法下的收敛x1=dichotomie(0,3,1e-10);x2=NewtonIterative(0,1e-10);x3=Secant(0,2,1e-10);x4=StephensonIterative(0,1e-10);[x1(2),x2(2),x3(2),x4(2)]figure,subplot(2,2,1),plot(x1(3:x1(2))),title('二分法');subplot(2,2,2),plot(x2(3:x2(2))),title('
7、牛顿迭代法');subplot(2,2,3),plot(x3(3:x3(2))),title('牛顿割线法');subplot(2,2,4),plot(x4(3:x4(2))),title('史蒂芬森迭代法');figure,subplot(2,2,1),plot((x1(4:x1(2)-1)-x1(1))./(x1(3:x1(2)-2)-x1(1))),title('二分法');subplot(2,2,2),plot((x2(4:x2(2)-1)-x2(1))./(x2(3:x2(2)-2)-x2(1))),title('牛顿迭
8、代法');subplot(2,2,3),plot((x3(4:x3(2)-1)-x3(1))./(x3(3:x3(2)-2)-x3(1))),title('牛顿割线法');subplot(2,2,4),plot((x4(4:x4(2)-1)-x4(
