循环矩阵的性质研究.doc

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1、循环矩阵的性质研究郭宇泽20081112021.相关概念定义1.1具有以下形式的阶方阵称为关于的循环矩阵显然，由首行元素惟一确定，因此可简记为.特别地，阶循环矩阵：称为阶基本循环矩阵，简记为：显然,(阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得,设,则,这时.记为复数域上的全体阶方阵，为实数域上的全体阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的维向量空间，记为矩阵的迹，为的转置共轭阵.定义1.2设如果矩阵的最小多项式等于特征多项式，则称为循环矩阵.定义1.3设是维向量空间上的一个线性变换，若存在向量，使得线性无关.则称为的一个循环向量.定义1.4已知阶基本循环矩阵-12-，并令，称为循环矩阵基本列（其中

2、为单位矩阵）.2.循环矩阵的性质2.1循环矩阵基本性质性质2.1.1循环矩阵基本列是线性无关的.性质2.1.2任意的阶循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出，即.性质2.1.3同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.证明设，B=，则+=显然为循环矩阵.定理2.1.1设为阶循环矩阵，则有：（1）乘积仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即；（2）若可逆，则的逆矩阵也是循环矩阵；-12-证明(1)设，，因为（其中为非负整数，），所以，此处为不高于次的多项式，因此为阶循环矩阵，且.(2)设为阶可逆循环矩阵，欲求的逆矩阵，需求得矩阵，满足条件即可.设，，有()()=要使，则以下方程组必须成立：解以上方程组可

3、转化为求解：，因为可逆，所以，因此方程有唯一的解，可得到唯一的矩阵，为的逆矩阵，且为循环矩阵.性质2.1.4阶循环矩阵的伴随矩阵也是循环矩阵.证明伴随矩阵，由定理2.1.1可知为循环矩阵，因此-12-也是循环矩阵.2.2关于循环矩阵的判定相关性质由定义1.2，有如下性质：引理2.2.1设则.定理2.2.1设则为循环矩阵的充要条件是矩阵是满秩的.由定义1.3，有如下性质：引理2.2.2设是维向量空间上的一个线性变换，有一个循环向量的充要条件是的最小多项式等于特征多项式.由此可知为循环矩阵的充要条件是有一个循环向量.定理2.2.2设，则为循环矩阵.证明由于，故，即的核空间的维数小于的核空间

4、的维数.所以必存在向量，使得，而.下面证明就是的一个循环向量，即线性无关.设，且满足，则.所以，，从而，即，所以，.依次类推下去，可得，因此线性无关，即为的一个循环向量，所以是循环矩阵.2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论-12-推论2.3.1循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.推论2.3.2设是以为元素的阶循环矩阵，则可逆的充要条件是与互素，即.证明由，可逆的充要条件是，即与没有公共根，从而.推论2.3.3若与互素，则，……都与互素.证明因为分别以的系数为元素的循环矩阵和以的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.2.4循环矩阵的一个定理及其得出

5、的推论定理2.4.1设循环矩阵，则其中，，即为所有次单位根.我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中，，所表示的意义均和定理2.4.1相同.推论2.4.1循环矩阵的秩为中非零数的个数.-12-2.5循环矩阵对角化相关性质性质2.5.1任何一个循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似.证明阶循环矩阵的特征值为由于又因相似于对角矩阵即存在可逆矩阵，.设是任意一个循环矩阵，则相似于对角矩阵diag事实上，定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明设是阶对角矩阵其中为复数.构造线性方程组其中是阶循环矩阵的特征值则以为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系

6、数行列式是范德蒙行列式，且互不相等，从而系数行列式不为零.构造阶循环矩阵-12-则的特征值为.由性质2.5.1，相似于对角矩阵推论2.5.1阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是相似于某个循环矩阵.证明充分性：若相似于循环矩阵，由性质2.5.1，与某对角矩阵相似.根据相似关系的可传递性知，相似于对角矩阵.必要性：若相似于对角矩阵，由定理2.5.1知，对角矩阵相似于某个循环矩阵.根据相似关系的可传递性知，相似于循环矩阵.性质2.5.2复数域上任意一个阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复阶可逆矩阵，使复数域上任意阶循环矩阵同时对角化.证明由性质2.5.1易知，任意一个阶矩阵都可以对角化，由

7、于是任意的，所有的结论全部得证.2.6等比数列构成的循环矩阵相关性质设序列是公比为的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为（1）矩阵可逆时，其逆矩阵由序列构成，记为（2）定理2.6.1若等比数列满足，若为偶数时，，则由该数列构成的循环矩阵（1）的逆矩阵（2）存在，且，，.即-12-（3）证明只须确定，由，即知，乘的第一列等于的第一列可得满足的方程组.（4）注意到，，对（4）的增广矩阵进行初等变换.又，当为偶数时，，知，可得定理及（3）式成立，证