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1、循环矩阵的性质研究郭宇泽20081112021.相关概念显然，4由首行元素惟一确定,定义1.1⑴具有以下形式的〃阶方阵A称为关于伽,⑷,血,…,％一】的循环矩阵兔)aa2°•an-an-5°•an-2色「2an-Q()••%3••••••••••••••a2如・A=因此可简记为A=C〃C(d(),Qi，・・・Q“_J・特别地，川阶循环矩阵:010000D=..0…01…00…0••••••001称为川阶基木循环矩阵，简记为：D=c〃c(0,l,0,・・・,0)显然，D,d2,D',・・D“=1
2、(n阶单位矩阵)都是循环矩阵，由此得A=a.I+alD+a2D2^^an_]Dft-设2林
3、/(X)=6f0+a{x+a2xH—,则A=f(D)f这时a()=a0I.记C""为复数域C上的全体川阶方阵，/?如为实数域上的全体斤阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的〃维向量空间，记〃(A)为矩阵A的迹，A"为A的转置共轨阵.定义1.2121设AwC”x"(/T"),如果矩阵4的最小多项式等于特征多项式，则称4为循环矩阵.定义1.3,21设A是斤维向量空间V上的一个线性变换，若存在向量«eV,使得a,X
4、a、…代'a线性无关•则称Q为A的一个循环向量.定义1・4⑷已知兀阶基本循环矩阵010001000D=...…o'…0…0■■■01并令称/仏,厶…，匚为循环矩阵基本列（其中I=Dn=In为单位矩阵）.1.循环矩阵的性质2.1循环矩阵基本性质性质2.1.1⑶循环矩阵基本列MJ?、—、是线性无关的.性质2.1.2[31任意的斤阶循坏矩阵A都可以用循坏矩阵基本列线性表出，即A=a0I+d]/]+性质2.1.3同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.%an-i為aA证明设心an-2•••an-l••••••_ala
5、jdo6a2an-Q（）aA+B=an-2•••an-•••Q（）•••・aa25an-hn-X*…hn_2B=bn-2bn-%…仇一3an-l'5（）hhn-b°•••+hn-2•••仇一]•••b24）h3…Sa（）+»%+a,—+K-2•••a+勺%+b（）G+•••a2+仇⑷+勺Q（）+•••…g…an-2…an-3+bn-+仇—2+b-3•••at+b
6、a2+b2Clq+仇…°0+b（）_b2.…hn-b…bn_2bo…仇_3•••••••••显然A+B为循环矩阵.
7、定理2.1.1设A、B为n阶循环矩阵，则冇:（1）乘积AB仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即AB=BA；（2）若A可逆，则A的逆矩阵也是循环矩阵；证明(1)设A=a(}I+axD+a2D2+…=f(D),B=bQI+b{D+b2D2+=g(D),因为Dn=Dn+k(其中K为非负整数，D°=Z),所以AB=f(D)g(D)=g(Q)/(Q)=h(D)=BA,此处/?(P)为不高于刃-1次的多项式，因此4B为〃阶循环矩阵，且AB=BA.(2)设力为川阶可逆循环矩阵,欲求人的逆矩阵，需求得矩阵bobb2…
8、b匚hn-b…bn-2叽一2•••hn-X••••••…叽_3••••••b2方3…%・B满足条件仙"即可.设A=aQI-^alD+a2D2an_xDn'x,B=bQI+bxD+b2D2+--bn_xDn~},有=(%)/+如£>+色£>2+...%£”-】)(仇/+勺£>+乞£>2+…b_D"T)=(Mo++…a仗_1"+(a#。+a®+…勺仇・i)»+…+(%%+an-2b+…W-i)»"'要使AB",则以下方程组必须成立：。0心+%一血+・・・％仇_]=1Wo+Qo勺+…。2虹]=0•••
9、、陽_】仇+色一2勺+・・V(Al1=0解以上方程组可转化为求解："(仇，勺上2,(1,0,…0)厂，因为A可逆，所以At=A^O,因此方程冇唯一的解b„2,••叽、,可得到唯一的矩阵B,B为A的逆矩阵，且B为循环矩阵.性质2.1.4h阶循环矩阵A的伴随矩阵A*也是循环矩阵.证明伴随矩阵AA-1,由定理2.1.1可知A"'二b(J+SD+b?D2+・・・»_卩”一'为循环矩阵，因此朋=同(％/+/?£+乞£>2+...虹4门)=同％/+
10、缈4+
11、缈2，+・.啊虹4心也是循环矩阵.2.2关于循环矩
12、阵的判定相关性质由定义1・2,有如下性质:引理2.2.1[21设rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A).定理2・2・1[2J设则A为循环矩阵的充要条件是矩阵-"(/〃/)tr(InA)…"(/〃占)_tr(AHI)tr(AHA)•…tr(AH•••••••••tr(An-])Hi]a••-An~}]是满秩的.由定义1・3,有如下性质:引理2.2.2⑵设A是刃维向量空间V上的一个线性变换，A冇一个循环向量的充耍条件是A的最小多项式等于特
