本章引入的概念和方法都是数学理论中基本的,在整个线性.ppt

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1、本章引入的概念和方法都是数学理论中基本的,在整个线性代数中要经常用到.因此在学习线性方程组的理论时,从概念到结论,从内容到方法,都要求掌握并熟练运用。第三章线性方程组(Linearequations)在第二章我们用Cramer法则求解了特殊的线性方程组(Therearenequationsandnunknowns)一般线性方程组(方程式式的个数和未知元的个数不一定相同,相同时其系数行列式的值不一定非零）的求解问题是线性代数的最基本内容,在现代数学的各个分支及其它许多领域被广泛应用着.在这一章中我们利用矩阵、向量、行列式等理论解决线性方程组有解的充分必要条件，并对其解给出完满的结

2、论.§3－1消元法举例分析：用消元法解下列方程组的过程．引例求解线性方程组我们将讨论一般线性方程组AlinearsystemofsEquationsinnunknownsSOLUTION.Usingbacksubstitution,weget用“回代”的方法求出解：（2）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（　与　相互替换）（以　　　替换　）（以　　　　替换　）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后

3、的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵augmentedmatrix）的变换．Def1.ElementaryRowOperations线性方程组的初等变换与矩阵行的初等变换1.Interchangetworows2.Multiplyarowbyanonzerorealnumber3.AddamultipleofonerowtoanotherrowDef2矩阵的初等列(column)变换与初等行(row)变换统称为初等变换．Eleme

4、ntaryOperations初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：

5、所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.线性方程组的解线性方程组的一般解（自由未知量）用消元法解线性方程组的步骤：1、写出线性方程组的增广矩阵B；2、用行初等变换把B化成阶梯形矩阵；3、判断方程组是否有解；4、线性方程组有解时,如果阶梯的个数①等于未知元的个数,则方程组有唯一解②小于未知元的个数,则方程组有无穷多组解。Theorem1在齐次方程组中，如果方程式的个数多于未知元的个数，那么方程组必有非零解。EXAMPLE1、用消元法解线性方程组小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．2.初等行变换3.线性

6、方程组的消元法与增广矩阵的初等变换4.求线性方程组的一般解.消元法解线性方程组的理论根据是:线性方程组以施行初等变换得到同解方程组.用消元法解线性方程组的过程与行列式计算的过程是类似的:通过一系列允许变换(保持同解性)得到最简形(阶梯形线性方程组),最后的解是极易得到的了.(这个思想在线性代数中贯彻始终,一定要好好领会)这一过程用线性方程组的增广矩阵及其行初等变换化成行最简形矩阵来研究更为简单明了.思考题已知四元齐次方程组及另一四元齐次方程组的通解为作业：P152-1思考题解答解