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1、第20卷第1期大学数学Vol.20,№.12004年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2004线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用许甫华(清华大学数学科学系,北京100084)[摘要]对矩阵的一些运算关系从映射角度考虑,得到概念上的新理解和运算的新技巧.特别是,给出了Frobenius不等式,Sylvester不等式等著名结果的极其简洁的证明,据此探讨了线性代数中有关问题和实例,包括列满秩矩阵的特点等.[关键词]线性映射;矩阵;Frobenius不等式;Sylvester不等式[中图分类号]O15217[文献标
2、识码]A[文章编号]167221454(2004)01200802051引言在线性代数及其应用方面,矩阵的运算、性质,许多等式及不等式十分重要.通常这样的结果都由矩阵运算及其技巧得到.本文运用线性映射的概念于矩阵运算,在许多情形下可以给矩阵运算以新观点、新技巧,可给出许多有关矩阵的结果的崭新的证明,很多证明极其简洁.例如Frobenius不等式,Sylvester不等式,还有文献[1-4]中的一些矩阵等式或性质,特别包括列满秩矩阵.文献[1]在利用列满秩矩阵发展线性代数方面很有特色.我们要先简单回忆一下线性映射和矩阵运算的基
3、本概念和记号,然后用映射的视角考察一些矩阵的结果.2线性映射与矩阵首先简单回忆线性映射的概念及与矩阵的关系,这些记号和事实将在下面反复使用,有时不再仔细(n)交待.以F表示域F上n维列向量空间.设A为F上的m×n矩阵,则(从左边)“以A乘”决定线性映射(n)(m)U→F,xû→Ax.A:F(n).其核kerUUA也简记为A,或详记为UAöFA=kerA即为Ax=0的解空间(称为A的零空间),故维数dimkerUA=n-r(A)(称为A的零度),r(A)表示A的秩.记A的列为A1,⋯,An,记列向量TTx=(x1,⋯,xn)(
4、总以A表示A的转置),则UA(x)=Ax=x1A1+⋯+xnAn,即A的列的线性组合,组合(n)系数为x的分量.当x取遍F时,UA(x)=Ax取遍A的列生成(张成)的线性空间VA(称为A的列空(n)间).即是说UA的象ImUA=AF=VA,象的维数为r(A).故(n)dim(kerA)+dim(AF)=n.特别可知,UA为单射当且仅当列数n=r(A),这样的A称为列满秩阵(或列独立阵).UA为满射当且仅当行数m=r(A),这样的A称为行满秩阵(或行独立阵).当然也可考虑“在右边乘A”的线性映射QA:mnûnTTTF→F,y→
5、yA,这里F表示F上n维行向量空间.将所有的向量和矩阵都转置,由(yA)=Ay,所以QT.A=UA[收稿日期]2003202210©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第1期许甫华:线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用81一般的线性映射均可归结为上述“以A乘”的映射.设Vn=Vn(F)和Vm=Vm(F)为域F上两线性空间,维数分别为n和m.设有线性映射U:Vn→Vm.(当Vn=V
6、m时,U称为线性变换).取定Vn和Vm的基{ei}和{Gi},设mU(ej)=∑aijGi(j=1,⋯,n)i=1也就是说U(e1,⋯,en)=(G1,⋯,Gm)A,其中A=AU=(aij)m×n称为U(在基{ei}和{Gi}下)的矩阵表示,其第j列是U(ej)的坐标.若A∈Vn的坐标列为x,则U(A)的坐标列为Ax(因为U(A)=U((e1,⋯,en)x)=(U(e1,⋯,en))x=(G1,⋯,Gm)Ax).因此U对向量A的作用归结到UA(即A)对坐标列x的作用.故A∈kerU(即U(A)=0)当且仅当x∈kerUA(即
7、Ax=0),dimkerU=n-r(A);A∈ImU=U(Vn)当且仅当x∈ImUA,dimIm(U)=r(A).所以核与象的维数有如下重要的等式:dim(kerU)+dim(ImU)=n.(1)取定基之后,Vn(F)到Vm(F)的线性映射集{U}与F上m×n矩阵集{A}之间一一对应,U对应其矩阵表示AU.此对应保加法,数乘和乘法,即U+7,kU和U7的方阵表示分别为AU+A7,kAU和AUA7(k∈F).特(n)(m)别可知,对于任意线性映射U:F→F,必存在m×n矩阵A使得UA=U,此A即是在自然基下U的矩(n)(n)(
8、m)阵表示(F的自然基即是In的列向量集).换句话说,F到F的线性映射总是UA形式.[4-5]以上讨论适用于Vn和Vm为列向量空间的子空间的情形.3Sylvester不等式和Frobenius不等式等现在转向用线性映射的观点,考察一些矩阵的结果.对于矩阵乘法AB,记B=(B1,⋯,Bp),
