矩阵理论在线性系统表示中的应用

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1、矩阵理论在线性系统表示中的应用摘要：本文简要展示了矩阵在线性系统基础理论中的应用，特别是矩阵中的特征值与特征向量在对角标准型以及约旦型的应用尤为重耍。1各变量的含义5^2，•••，以pO输出变量组(系统输出，系统的外部变量)：系统对环境的作用，表力Ji，状态变量组(系统的内部变量组)：刻副系统在每个吋刻所处态势，表为又1，义2，•••，义"。状态变景组：能完全表征动力学系统时间域行为的一个最小内部变量组，表为七⑴，x2(r)，…，•¥,,(<>，其屮f为自变量吋间。状态：定义为由其状态变量组&0)，x2(z)

2、,…，弋⑴所组成的一个列向量，表为Wx(r)=:状态x的维数定义为其组成状态变量$⑴，七⑺,…，'⑺的个数，Bpdimx=zi2线性时不变系统和时变系统状态空间描述的一般形式2.1线性时不变系统的一般形式x=Ax+Buy=Cx+Du-其中乂I-^11^1+“12又2+…+“

3、,人+/?

4、

5、W

6、+b'2u2+…+blrupx2=a2ix}+a22x2+."+“2,人+h2Iw,+Z?22w2+…+b2rupA,=an^l+^,2^2十…十〜A,++b，2+…+*=CjjXj++…+4i“i++…+druy2=

7、c21x,+c22x2+…+c2入+J21Mj+d22u2+”.+d2rup<參參參人=〜戋+C,2X2夂“+〜,人+^.WI+dq2U2+…+dqrUp2.2线性时变系统的一般形式Ji=A(t)x+B(t)uy=C(t)x+D(t)u其中A(Z)=、（，）^,2(0…a22⑺…W)-B(Z)=V，）么1（，）Wr)…b22(t)…M，)_拳拳拳_w）••••••W)…••••番番••••••WO…•番番bnP^_乂⑴c12(r)…、（，）_djt)名2⑺…4(t)_C(z)=吆（0•番番〔22(’)•••

8、…M，)••••••D(t)=d2i(0參參參d22(t)…••••••d2r(t)參參參W)⑴…M，）冬⑴《2⑴…W)Jt屮元素冇残或企部是时间t的函数3系统的实现3.1标准I型（能控型实现）n阶系统信号传递从左到右：X，X，...，nh-1,,x=Ax+bux积分器串联，贝N即•:y=cxX2參••000~aQAX20~a-azr-I0]能控标准I形的特点：＞由状态变量到输入的负反馈构成。＞系统矩阵A阵为友矩阵：主对角线上方元素为1，最后一行元素为标准形式（对象：传递函数无零点，sn系数为1）的分母

9、各项（阶次从低到高）系数乘以（-1）的值。＞能够由能控标准形实现的系统，必然是能控的。3.2标准II型（能观型实现）n阶系统信号传递从左到右.•xnX积分器串联,1:x=Ax+bu则]即y=cxVA••♦=A0100n-2w-lX2又20••攀+參^-100°~ao0—6Z

10、0-6/1-aU>'=[o001]Zl-lA阵：主对角线下部元素全为1,最后一列元素为（-1）X分母多项式的各阶系数，阶次从低到高。每一个状态的导数都与最后一个状态有关。从上述方程看到I、II型为对偶关系养=b、bu=cT'3.3对角型

11、及约当型实现对角型实现（特征值为不和等的实数）约当型实现（特征值有相等的重根）对角型及约当型实现是通过把传递函数化为部分分式导出的。要化为部分分式，传递函数分了阶次须小于分母阶次。若m=n，应先利用长除法，分离出直接传递矩阵。积分器为并联形式。（1）对角线标准I型乂1乂2•••=人_A000000•••00•••又2參參•+11嚳嚳嚳00041y=[^c2这种形式的系统，必是能控、能观的，每个状态的导数与本身和输入有关。(2)对角线标准II型"A000^1C1上20毛00x2+C2鲁鲁鲁00••••••番參參

12、參人_000y=[l1l]xU能够写成这种形式的系统，必是能控、能观的I、II型互为对偶系统矩阵A阵为对角线型，对角线上是互异特征根，是约当标准形的一种特殊形式；b是列向量，元素为全1（I型）c是行向量，元素为留数（I型）（3）约旦型实现则

13、重根吋，靠对角线上元素为1,其余为0，为约当标准形。A阵对应于重根部分（左上方）为约当标准块。4小结从以上的阐述可以看到，矩阵理论在线性系统屮的应用至关重要，可以说如果没冇矩阵理论的支撑，系统控制的发展没有如此快速的发展。