频域分析法讲义.doc

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1、第5章线性系统的频域分析法*例题解析例5-1已知单位反馈控制系统的开环传递函数Gk（5）=5（5+3）（s+5）（1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；（2）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部，且实部的绝对值都大于1的条件；（3）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部且全部复极点的阻尼系数都大于阳的条件。2解：（1）此题是I型系统，取奈奎斯特路径如图5-1所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平血上的封闭曲线：%1正虚轴：尸仙频率09从0十变化到8；%1半径为无穷大的右半圆：s=Re",人山兰变化到一兰；22%1负

2、虚轴：s=je,频率e从一oo变化到0；%1半径为无穷小的右半圆：s=山一冬变化到冬；22先求与路径①对应的奈奎斯特图，将$=加代入G«.（s）Gk伽）=K加伽+3)(购+5)(p(co)=一90U)co一arctanarctan—^(0)=-90°;^(oo)=-270°P3=—8K(9+/)(25+/)0_15)kq(9+q2)(25+q2)图5-1将2兀-1代入G&）Sg+3）（s+5）得求与实轴的交点，令0（g）=0,解得/=15,^=±715«±3.87戶（届）=（9+]5）（25+15）120与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角

3、度从一270。逆时针转到270°的圆弧,由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特Illi稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图屮略去。与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90°顺时针转到一90。的圆弧。画出奈奎斯特图如5-2所示。要使闭环系统稳定，要求0>-—>-B即当1200vKv120时闭环系统稳定。图5-2（2）此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平血上的封闭曲线：%1平行于正虚轴直线:s=j®7,频率⑵由0变化到%1半径为无穷大的右半圆：s

4、=R%,R—>oOj^Fh—变化到一兰；2一2%1平行于正虚轴直线：5=jo）-1,频率CD由-co变化到0；先求与路径①对应的奈奎斯特图KK注意此时的G«*(jTy)已不是I型系统形式，而是非最小相位传递函数=-180+arctan（o-arctanarctan—240（0）=-180°;0（oo）=-270°P（吩严+件）2（1+莎）（4+02）（16+少）弘）=严％）,（1+犷）（4+少）（16+少）求与实轴的交点，令Q(a))=0,解得0=0,0=血,尸（0）=一£,尸（血）=上oIX也出奈奎斯特图如图5-4所示。与路径②对应的奈奎斯特图

5、是半径为无穷小，角度从一270°逆时针转到270°的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图屮略去。与路径③对应的奈奎斯特图是路径①H对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。要使此图满足稳定的要求-，即当8<7^<18时满足全部闭环极点均位團5-4于S左半平面且实部绝对值都大于1的条件。解二：木题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据判断相对稳定的条件。令S二兀-1代入特征方程整理得列劳斯阵列如下A=5?+852+15$+K二0A=%"'+5x"+2x—8+K—0x312x25K—8i18—Kx5x

6、°K—8要使劳斯阵列第一列都大于零，可解得8<^<18o当8vKvl8时满足全部闭环极点均位于s平面左半部且实部的绝对值都大于1的条件，此结果与皿用奈奎斯特判据所得结果完全相同。(3)此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以卞各段组成的s平面上的封闭曲线：与负虚轴成45°角的肓线：s=-兀+丿兀，频率兀由0变化到Q0；半彳仝为无穷人的右半圆：s=R"Rt00,"山~—变化到一-—;44与负虚轴成45°角的氏线：$=兀+丿比，频率兀由一8变化到0；半径为无穷小的右半岡:s=RQ"，7?’T0,夕由一—到—；44K先求与路径①对应的

7、奈奎斯特图，将$=-兀+丿士代入(5)=s(s+3)(s+5)Gk(一x+A)=Gk*(A)=K(一“+jx)(3一x+yx)(5一x+jx)A(a))=KVIxJ(3_x)2+/J(5_x)2+/xx(p{co)=-135-arctanarctan—一3—x5—兀0(0)=一135°;0(3)=—281.31°;0(5)=—336.8°;©(8)=-405°(2x2_15)K2x[(3—兀)2+x2][(5+x)2+x2]g)=(-2宀16尤-15)«2x[(3-x)2+x2][(5+x)2+x2]求与实轴的交点，令Q(x)=0解得一

8、丄屈」&

9、915(与正实轴的交点频率)*一—〒一[1.085(与负实轴的交点频率)与负实轴的交点戶(4-(2*_15)K2x[(3-x)2+x2]