2018中考总复习圆的切线专题.doc

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1、题型专项(八)　与切线有关的证明与计算类型1　与全等三角形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，

2、∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)

3、设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝.∴AQ＝AC＋CQ＝1＋.∴AP＝AQ＝.∴BP＝AB－AP＝.∴PO＝AP－AO＝.∴BP∶PO＝.3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.(1)求证：△PAE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.证明：(1)∵PE2＝PA·PC，∴＝.又∵∠

4、APE＝∠EPC，∴△PAE∽△PEC.(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.∵∠PCE＝∠AOE，∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.∴∠PEA＋∠OEA＝90°.∴PE为⊙O的切线．(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝r.过点O作OF⊥AC于点F，∴OF＝r.∵AP＝AC，∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.在△O

5、DF与△PDE中，∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.类型2　与相似三角形有关4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．解：(1)AB是⊙O切线．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CEA＝90°.∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，∴∠ADF＋∠CDF＝90°.∴AB是⊙O切线．(2)连

6、接CF.∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠PCF.∴∠PCF＝∠PAC.又∵∠CPF＝∠APC，∴△PCF∽△PAC.∴＝.∴PC2＝PF·PA.设PF＝a，则PC＝2a.∴4a2＝a(a＋5)．∴a＝.∴PC＝2a＝.5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C.(1)求证：PE是⊙O的切线；(2)求证：ED平分∠BEP；(3)若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．解：(1)证明

7、：连接OE.∵CD是圆O的直径，∴∠CED＝90°.∵OC＝OE，∴∠C＝∠OEC.又∵∠PED＝∠C，∴∠PED＝∠OEC.∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°.∴OE⊥EP.又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线．(2)证明：∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠CED＝90°.∴∠AEC＝∠DEB(同角的余角相等)．又∵∠PED＝∠C，AE∥CD，∴∠PED＝∠DEB，即ED平分∠BEP.(3)设EF＝x，则CF＝2x.∵⊙O的半径为5，∴OF＝2x－5.在Rt△OEF中，OE2＝EF2

8、＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4，∴EF＝4.∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8.∴DF＝CD－CF＝10－8＝2.∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝6.∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，∴△EFP∽△AEB.∴＝，即＝.∴PF＝.∴