欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:47929393
大小:172.00 KB
页数:9页
时间:2019-11-05
《中考复习专题-------圆的切线证明》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内,证明圆的切线常用的方法有:一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证:EF与⊙O相切.证明:连结OE,AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.又∵AB=BC,⌒⌒∴∠3=∠4.∴BD=DE,∠1=∠2.又∵OB=OE,OF
2、=OF,∴△BOF≌△EOF(SAS).∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的9例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.求证:PA与⊙O相切.证明一:作直径AE,连结EC.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E,∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径,∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O
3、相切.证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.⌒⌒∵AD是∠BAC的平分线,∴BE=CE,∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE,∴∠E=∠1.∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.9例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切.证明一:连结OD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OD,∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.D∵DM⊥AC,
4、∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二:连结OD,AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC,∴∠2+∠4=900C∵OA=OD,∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明:证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知.例4如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的切线证明:连结OC、BC.9∵OA=OC,∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.
5、又∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形.D∴OB=BC.∵OB=BD,∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较好.例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.求证:PC是⊙O的切线.证明:连结OC∵OA2=OD·OP,OA=OC,∴OC2=OD·OP,.又∵∠1=∠1,∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB,∴∠OCP=900.∴PC是⊙O的切线.说明:此题是通过证三角形相似证明垂直的例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点
6、,AG交BD于E,交CD于F.求证:CE与△CFG的外接圆相切.分析:此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.证明:取FG中点O,连结OC.∵ABCD是正方形,9∴BC⊥CD,△CFG是Rt△∵O是FG的中点,∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG,∴∠3=∠G,∵AD∥BC,∴∠G=∠4.∵AD=CD,DE=DE,∠ADE=∠CDE=450,∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.
7、∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”例7如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证:AC与⊙D相切.证明一:连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB是⊙D的切线,∴DE⊥AB.∵DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DF=DE.∴F在⊙D上.9∴AC是⊙D的切线证明二:连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB与⊙D相切,∴DE
8、⊥AB.∵AB=AC,BD=CD,∴∠1=∠2.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.∴F在
此文档下载收益归作者所有