三角形、三角形相似及全等

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1、三角形、三角形相似及全等一、三角形的边例1：①3、4、x为三角形的三边，求x的取值范围。②3、4、x为直角三角形的三边，求x的取值。③3、4、x为等腰三角形的三边，求x的取值。例2：a、b、c为三角形的三边，它们存在如下关系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请问三角形为什么三角形？并说明理由。课堂练习1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC=a，则（）A．a=8B．a=4C．a

2、=4或8D．4＜a<83.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm4．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5．若3，m，5为三角形三边，化简：二、三角形的角例1：三角形的三个角的比值为1：2：3，求三角形三个角的度数及三角形的三边比。例2：△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C．

3、等腰（不等边）三角形D．等边三角形10三、三角形的线（一）角平分线：过三角形的顶点引一条射线，把这个角分成二等分，这条线就叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到三角形的两边相等。例1：如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，∠ACD=50o，则∠CDE的度数是课堂练习ABCDE1．已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，则EB长为______.ACMBD2．已知△ABC中，∠B=∠C，D为BA延长线上的点，AM是∠CAD的平分线，求证：AM∥BC.（二）中线

4、、高、垂直平分线（1）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（3）线段的垂直平分线：垂直并平分这条线段的线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。例2：如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝60°，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长．10课堂练习1．如图1，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ACE

5、的周长为50，则BC=ADBEC图1图2图32．如图2，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．3．如图3，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．2（三）中位线例1：如右图，在△ABC中，D．E两点分别在BC．AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是（）A．4B．5C．6D．7四、三角形相似（一）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似

6、．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．例1：如图，在△ABC中，DE∥BC,求证:△ABC∽△ADE.10例2：如图所示，在ΔABC中，AB=8cm，AC=10cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒2cm的速度向A点运动，设运动时间为x

7、。当x为何值时，以A、B为顶点的三角形与ΔAPQ相似？（二）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．例1：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）若AC=4，BC=3，则AD=，BD=，CD=；（2）若AB∶BC=9∶1，则AD∶BD=．2．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，则S△CDF=．课堂练习1.如图1，在△ABC中，DE∥

8、BC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC=．图1图2图32．如图2，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S△ECB=．3．如图3，平行四边形ABCD中，BC=18cm10，P、Q是三