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《观察·探究·猜想·证明.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、观察•探究•猜想•证明展学随着《全日制义务教育数学课程标准》实验活动的深入,各地中考数学试卷中的探索性试题逐年增多，特别在2004年的试题中，加大了结论开放与探索的力度。可以预测：探索性问题将仍是中考命题追求的目标。下面例说解这类问题的常用方法：观察、探究、发现、证明。一、探究直线和圆的位置关系例1.（2004年北京市中考题）已知：如图1,ZACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点，连结AB,将厶ACB沿AB边所在的直线翻折得到AADB,过点D作直线DF1CG于点F。（1）当BC=^吋，判断直线FD与以AB为
2、直径为OO的位置关系，并加以证明;3⑵略。D图1分析：要判断直线FD与以AB为直径的的位置关系，不妨先动手画出以AB为直径的OO,观察发现OO与直线FD有一个公共点，考虑到画出的图形有误差，所以只能猜想直线与OO可能相切，要止确判断出直线FD是OO的切线还需要证明。怎样证明有•线FD与OO相切于点D呢？根据切线的判定定理，不但要证明点D在OO±,而且耍证明半径OD垂直于直线FD。证明：如图1,作以AB为直径的OO,连结DO因为AADB是将AACB沿AB边所在的直线翻折得到的所以ZADB=ZACB=90°,ZBAD=ZB
3、AC因为O是AB的中点所以OD=OB=-AB,所以点D在OO±2在RtAACB中,心节，AC=2R「Fl所以伽ZBAC=—=—AC3所以ZBAC=30°=ZBADnBD所对的圆心角ZBOD=2ZBAD=60°在RtAACB中，ZABC=90c-ZBAC=60°所以ZABC=ZBOD,所以FC//DO因为DF丄CG,所以ZODF=ZBFD=90C所以FD丄OD于点D又OD是OO的半径，所以FD是G»O的切线一-、探究两个角的数量关系例2.（2004年福州市中考题）已知：如图2,AB是。0的一条弦，点C为人3的中点，CD是
4、。O的直径，过（：点的直线I交AB所在直线于点E,交0O于点FoD图2（1）判定图中ZCEB与/FDC的数量关系，并写出结论；（2）将直线/绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出Z在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形,标上相应字母，选其中一个图形给予证明。D备用图aID爸用图b解：（1）通过观察，发现ZCEB与ZFDC都是ZFCD的余角，所以ZCEB=ZFDC。（2）在两个备用图中分别画出了符合条件的直线Z。证明：（备用图b）。nCD是OO的直线，又C
5、是AB的中点，山垂径定理推论，矢nCD±AB,所以ZCEB+ZFCD=90°o因为CD是OO的直径所以ZCFD=90°,所以ZFDC+ZFCD=90°因此ZCEB=ZFDC三、探究与已知线段相等的线段例3.（2004年西宁市中考题）CC己知：如图3,AB是OO的直径，直线/与OO相切于点C,AC=AD,CD交AB于E,BF±Z,垂足为F,BF交（DO于G。（1）图3中哪条线段与AE柑等？试证明你的结论。（2）若tanZCBF=-,AE=3,求（DO的貢径。（1）分析:ACEA证得。GF=AEo此结论可lilACFG^证
6、明：Z与。0相切于点C,所以弦切角ZFCG=ZFBC又ZCFG=ZBFC,所以△FCGs/XFBC,所以ZFGC=ZFCB因为弦切角ZFCB=ZCAE所以ZCGF=ZCAE因为AB是OO的直径，AC=AD,山垂径定理推论知AB丄CD于点E,又BF丄Z于点F所以ZCFG=ZCEA=90°因为AB是。0的直径所以ZACB=90°=ZCFB又ZCAB=ZFCB,所以△ACB^ACFB所以ZABC=ZCBF又CE丄AB,CF±BF,所以CF=CE在厶CFG和厶CEA屮，ZCFG=ZCEA,ZCGF=ZCAE,CF=CE所以△C
7、FG^ACEA,所以GF=AECC（2）略解：山AC=AD^11ZACE=ZABC=ZCBFtanZACE=tanZCBF=14FAFI因为tanZACE=——,所以——二一CECE2因为AE=3,所以CE=6山勾股定理，^AC2=AE2+CE2=45在RtAABC中，CE丄AJB,山射影定理，WAC2=AEABat-45所以保盂飞十故求得。。的直径小四、探究两条线段乘积的关系例4.（2004年济南市中考题）已知半径为R的OO,经过半径为「的OO的圆心，OO与（30交于E、F两点。（1）如图4（a）,连结OCT交0O于
8、点C,并延长交OCT于点D,过C作。O的切线交OO'于A、B两点，求OA・OB的值；图4（包）（2）若点C为OO±一动点。①当点C运动到（DO内时，如图4（b）,遒C作OO的切线交OCT于A、B两点，则OA・OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理山。图4（b）②当点C运动到OCT外时，过点C作OO的切线，若能交OO于A、
