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1、观察•探究•猜想•证明展学随着《全日制义务教育数学课程标准》实验活动的深入，各地中考数学试卷中的探索性试题逐年增多，特别在2004年的试题中，加大了结论开放与探索的力度。可以预测：探索性问题将仍是中考命题追求的目标。下面例说解这类问题的帘用方法：观察、探究、发现、证明。一、探究直线和圆的位置关系例1・（2004年北京市屮考题）已知：如图1,ZACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点，连结AB,将厶ACB沿AB边所在的直线翻折得到AADB,过点D作直线DF丄CG于点F。（1）当BC=^时，判断直线FD与以AB
2、为直径为的位置关系，并加以证明;3（2）略。GFD图1分析：要判断市线FD与以AB为直径的OO的位置关系，不妨先动手画出以AB为直径的00,观察发现与宜线FD有一个公共点，考虑到画出的图形有误差，所以只能猜想直线与OO町能柑切，要止确判断出I［线FD是。O的切线还需要证明。怎样证明直线FD与OO相切于点D呢？根据切线的判定定理，不但要证明点D在0O±,而II要证明半径OD垂直于直线FD。证明：如图1,作以AB为直径的0O,连结DO因为AADB是将AACB沿AB边所在的直线翻折得到的所以ZADB=ZACB=90°,ZB
3、AD=ZBAC因为O是AB的中点所以OD=OB=-AB,所以点D在OO±22R在RtAACB中，BC=—,AC=2所以kinZBAC=—=—AC3所以ZBAC=30°=ZBADnBD所对的圆心角ZBOD=2ZBAD=60°在RtAACB中，ZABC=90°-ZBAC=60°所以ZABC=ZBOD,所以FC/7DO因为DFICG,所以ZODF=ZBFD=90°所以FD丄OD于点D又OD是OO的半径，所以FD是（DO的切线二、探究两个角的数量关系例2.（2004年福州市中考题）n己知：如图2,AB是OO的一条弦，点C为A
4、E的中点，CD是OO的直径，过C点的直线/交AB所在直线于点E,交OO于点F。D（1）判定图中ZCEB与ZFDC的数量关系，并写出结论;（2）将直线Z绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出Z在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形,标上相应字母，选其中一个图形给予证明。D备用图aD备用图b解（1）通过观察，发现ZCEB与ZFDC都是ZFCD的余角，所以ZCEB=ZFDCO（2）在两个备用图中分别画出了符合条件的直线证明：（备用图b）。nCD是OO的直线，
5、又C是A3的中点，山垂径定理推论，知CD丄AB,所以ZCEB+ZFCD=90°o因为CD是OO的直径所以ZCFD=90°,所以ZFDC+ZFCD=90°因此ZCEB=ZFDC三、探究与已知线段相等的线段例3.（2004年西宁市中考题）CC已知：如图3,AB是OO的直径，直线Z与。O相切于点C,AC=AD,CD交AB于E,BF丄Z,垂足为F,BF交＜30于G。（1）图3中哪条线段与AE相等？试证明你的结论。⑵若tanZCBlg,込3,求。。的直径。（1）ACEA证得。GF=AE。此结论nflllACFG^证明：Z与。O
6、相切于点C,所以弦切角ZFCG=ZFBC又ZCFG=ZBFC,所以△FCG^AFBC,所以ZFGC=ZFCB因为弦切角ZFCB=ZCAE所以ZCGF=ZCAECC因为AB是00的直径，AC=AD,山垂径定理推论知AB丄CD于点E,又BF丄2于点F所以ZCFG=ZCEA=90°因为AB是。O的克径所以ZACB=90°=ZCFB又ZCAB=ZFCB,所以ZsACBs^CFB所以ZABC=ZCBF又CE丄AB,CF丄BF,所以CF=CE在ZCFG和ZXCEA中，ZCFG=ZCEA,ZCGF=ZCAE,CF=CE所以△CF
7、G^ACEA,所以GF=AECC（2）略解:illAC=AD知ZACE=ZABC=ZCBFtanZACE-tanZCEF-—2ApAT1因为tanZACE=—,所以——=-CECE2因为AE=3,所以CE=6山勾股定理，^AC2=AE2+CE2=45在RtAABC中，CE丄AB,曲射影定理，AC2=AE•ABat245所以==—=15,故求得OO的直径为15。AE3四、探究两条线段乘积的关系例4.(2004年济南市中考题)已知半径为R的OCT经过半径为r的。O的圆心，OO与OCT交于E、F两点。(I)如图4(a),熾
8、OCT交。O于点C,并延长交OCT于点D,过C作。O的切线交OCT于A、B两点，求OA・OB的值；图4(a)(2)若点C为0O±一动点。①当点C运动到OCT内时，如图4(b),过点C作①O的切线交OCT于A、B两点，则OA-OB的值与(1)中的结论相比较有无变化？请说明理山。图4（b）②当点C运动到（DO,外吋，过点C作OO的切线，若能交于A、
