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1、9.1直线的倾斜角、斜率和方程1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）倾斜角的范围。2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量：，（4）求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为
2、α，且α≠90°，则斜率k=tanα.②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.（5）斜率的应用：证明三点共线：。3.直线方程的几种形式：a=b=0时,y=kx不垂直x,y轴和过原点a,b分别为x,y轴上截距④截距式A,B,C为0时,直线的特点任意直线A,B不同时为0Ax+By+C=0⑤一般式x1=x2时,x=x1y1=,y2时,y=,y1不垂直x,y轴(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点且(x1≠x2
3、,y1≠,y2)③两点式k不存在时,x=x0k存在k斜率,b为y轴上截距y=kx+b②斜截式k不存在时,x=x0k存在k斜率,(x0,y0)为直线上定点y-y0=k(x-x0)①点斜式备注适用范围常数的意义方程形式直线名称对倾斜角、斜率概念的理解（1）直线3y＋x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：（1）因为直线的斜率即倾斜角的正切值，即为－．故选D。D（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3
4、C．4，－3D．4，3解:利用斜率计算公式k=，可求得x2，y3依次是4，－3，故选C．（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是（）A．B．－C．D．－√－7－√7解:（3）因直线l1与l2关于x轴对称，因此两直线的倾斜角互补，所以两直线的斜率互为相反数．故选A。A（4）从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是．解:（4）由直线的斜率的定义可知=－3/2．故填：－3/2、直线的倾斜角的取值范围是_________。解:直线的斜率【点评与感悟】斜率与倾斜角的范围
5、之间不能想当然,要根据具体情况而定已知△ABC的三个顶点是A(3,-4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三条边所在的直线方程.各种形式的直线方程的恰当选择思路分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.解：如右图,因△
6、ABC的顶点B与C的坐标分别为(0,3)和(-6,0),故B点在y轴上,C点在x轴上,即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为+=1,化为一般式为x-2y+6=0.由于B点的坐标为(0,3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为y=kx+3.又由顶点A(3,-4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-于是直线AB的方程为y=-x+3,化为一般式为7x+3y-9=0.由A(3,-4)、C(-6,0),得直线AC的斜率kAC==—利用点斜式得直线AC的方程为y—0=
7、—(x+6),化为一般式为4x+9y+24=0.也可用两点式,得直线AC的方程为=再化简即可.点评与感悟：本题考查了求直线方程的基本方法,正确选用直线方程的几种形式可使计算简化，过程简捷，有利于提高解题的速度.一条直线经过点P（3，2），且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，求该直线方程。tan=1/4解:设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则=2，tan=tan2从而所求直线方程为即一条直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。【解法一】设直线在x、y轴上的截距分别为a,b，（1）当ab≠0时，设所
8、求直线为x/a+y/b=1，由已知得a+b=6,2/a+1/b=1,解得a=b=3或a=4,b=2,此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。（2）当a、b中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和是6”，因而舍去。故所求的直线方程为x+y-3=
