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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第三章环与域在数学特别是在高等代数中遇到的主要研究对象，如数、多项式函数以及矩阵和线性变换等都有两个代数运算。所以研究带有两个代数运算的代数系统就很重要了，最基本和重要的代数系统就是环和域。环论起源于19世纪关于实数的扩张和分类的研究。J.H.M.Wedderburn于1908给出了研究环结构的模式；E.Noether于1921提出了诺特环；E.Artin于1927提出了阿廷环，并推广了Wedderburn定理；N.Jacobson于1945创造了环的根理论，得到了环的基本且重要的构造定理。环或域具有
2、两个代数运算，均和群有直接的联系。研究环时需要注意的是1）利用群的知识来学习环；2）注意环中两个运算之间的联系和分别所起的作用。3）在环论中有很多公式，其中有好多和数的运算公式一样，既要注意一样的也要注意不一样的。第1-2节加群和环的定义交换环，单位元和零因子河北师范大学一、加群环中有两个运算，分别类似于数的加法和乘法。为此我们先介绍加群的概念。定义1：假如我们把一个交换群的代数运算叫做加法，并且用+来表示,则我们称此群为加群。基本公式以及符号对比（乘）群加群单位元e(1)ea=ae=aa的逆元a-1(2)a-1a=aa-1=e(3)(a-1)-1=a(4)(ab)-1=b-1a-1零元0(
3、1)0+a=a+0=aa的负元-a(2)(-a)+a=a+(-a)=0(3)-(-a)=a(4)-(a+b)=(-b)+(-a)(4)-(a+b)=(-a)+(-b)基本公式以及符号对比（乘）群加群a的n次方幂an(5)a-n=(a-1)n(6)a0=e(7)aman=am+na的n倍元na(5)(-n)a=n(-a)(6)0a=0(7)ma+nb=(m+n)a(9)n(a+b)=na+nb(8)(am)n=amn(8)n(ma)=(mn)a(10)a-a=a+(-a)=0定义2：加群的子群称为子加群。注：加群G的非空子集是子加群规定减法:则有移项法则:二、环的定义定义3设是一个非空集合.上
4、定义了两个代数运算“+”与“.”关于加法构成一个加群；(3)乘法对加法两个分配律成立：则称为环,或简称为环.(分别称为加法与乘法),并且满足如果在(1)(2)乘法结合律成立：例1（1）整数集关于数的加法与乘法构成环.这个环称为整数环.（2）同样,有理数集,实数集,复数集关于数的加法与乘法构成环.（3）全体偶数做成的集合关于数的加法与乘法做成环（偶数环）.说明：是一个交换群.其加法单位元常用0表示,称为环的零元.设的加法逆元称为的负元，.的零元与的每个元素的负元都是记作唯一的.主要性质规定方幂:设,规定则有下列指数法则:注意:如果环不是交换环,则等式一般不成立.环的加法满足的性质足够完美，故研
5、究环是侧重对其乘法进行研究。一些概念是针对乘法而言的。定义4如果环的乘法还满足交换律,为交换环.中存在元素,使得则称为有单位元的环,并称为的定义5如果环单位元.则称例2（1）整数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.（整数环）零元是数0,单位元是数1.（2）同样,有理数集,实数集,复数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.（3）全体偶数做成的集合关于数的加法与乘法做成交换环，但它没有单位元.零元是数0,单位元是数1.例3数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.为非平方整数,则关于数的加法与乘法都构成有单位元的交换环.这个环称为高斯整环.类似地可证,如果例4数域上的全体阶方阵的集合
6、关于矩阵的加法与乘法上的它的零元为零矩阵,单位元为单位矩阵.构成环.这个环称为数域阶全阵环.当时,这是一个非交换环,(2)若环有单位元1，则唯一，其单位元常记作.注:(1)一个环未必有单位元；(3)若环有单位元1，则规定任何非零元的0次幂为1.定义6设为有单位元的环,,如果存在,使得则称为的可逆元,并称为的逆元.可逆,则的逆元唯一,且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且有逆元；逆元记作注:(1)即使在有单位元的环中，未必每个元都(2)若的可逆元仅有1,-1;由于没有单位元,所以它没有可逆元.可逆当且仅当例7试求高斯整环例6的可逆元.例5注：设R是一个含有两个以上元素的带有单位元1的环。则零元和单
7、位元是两个不等的元素，并且零元没有逆元。注：在一个带有单位元1的环中，若a是可逆元，则规定a-n=(a-1)n。为环,为的非零元素.，使，则称的一个左零因子；，使，则称的一个右零因子.定义7设如果存在非零元为如果存在非零元为左零因子与右零因子统称为零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正则元.注：整数环中没有零因子例8在模n的剩余类集合上定义则它是一个交换群，叫做模n的剩余类加群；则它做成一个交换环，
