群环ZnG的零因子图的性质.pdf

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1、第33卷第2期广西师范大学学报：自然科学版Vo1．33No．22015年6月JournalofGuangxiNormalUniversity：NaturalScienceEditionJun．2015群环Z咒G的零因子图的性质郭述锋。，谢光明。，易忠。(1．首都师范大学数学科学学院，北京100048；2．广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004；3．桂林航天工业学院，广西桂林541004)摘要：本文主要讨论了群环ZG的零因子图的性质，分别给出了群环ZG的零因子图的围长、直径和平面性的详细刻画，其中G为素数阶群。关键词：群环；零因子

2、图；围长；直径；平面性中图分类号：O153．3文献标志码：A文章编号：1001—6600(2015)02—0068—080引言研究代数系统的图的性质，已成为近20年来代数学研究的一个热点问题，期间产生了许多重要的结果[】]，同时提供了一种研究数学问题的新方法。零因子图的研究对于刻画代数系统的结构具有重要意义，其重要性在于它可以清楚地刻画抽象的代数系统的几何直观。文献[1]证明了当R是含有非零零因子的约化环时1≤diam(P(R))≤diam(P(R[]))≤diam(P(R[Ix]]))≤3，同时也成功地刻画了当R是非约化环时P(R)和P

3、(RIx])的直径。文献[2]研究了模高斯整数环Z[]的零因子图P(Z])的性质，并分别给出了P(Z])的顶点数、直径、围长和平面性的比较具体的刻画。在本文中，我们主要讨论群环ZG的零因子图的围长、直径和平面性，并分别给出较为具体的刻画。在群环ZG中，Z为模7／剩余类环(72>1)，G为素数声阶群。记Z一{0，1，2，⋯，一1}，G一{1，a，口，⋯，口}，其中a的阶。(口)一P。交换环R的零因子图是一个简单图r(R)，其顶点集为R的非零零因子集合D(R)，两个不同的顶点与有一条边相连当且仅当cry=0。图G的围长是指图G中最短圈的长度，

4、记作gr(G)，如果图G中不含圈，则记gr(G)一oo。图G上的两点z、Y之间的距离是指z与Y之间的所有路径中最短路的长度，记为d(z，Y)。图G的直径diamG=sup{d(，)l，Y∈V(G))。称图G为平面图，是指它能画在平面上使得它的边仅在端点相交。称图G是连通图，是指图G中任意两个顶点之间都有一条路相连。称图G是完全图，是指G中任意两点均有单边相连，以K表示。本文中用K⋯表示完全二部图，以(n>表示环R中元口生成的主理想。设A是环R的子集，我们用IAl表示A的元素个数，A一A一{0}。关于群环ZG的基本性质参见文献[8]。1例子

5、在本节，我们给出群环zG在一些具体情形时的零因子图的有趣的例子。为了表述方便，在本节中我们用Z表示模剩余类环，G表示m阶群。收稿IEI期：2015—01—17基金项目：国家自然科学基金资助项目(11161005)；北京市教育委员会科技计划重点项目(KZ201410028033)通信联系人：易忠(1961一)，男，湖南长沙人，桂林航天工业学院教授，博士。E-mail：yizhong66@126．com第2期郭述锋等：群环zG的零因子图的性质69例1Z2一{0，1}，G2一{1，a)，Z。G：{0，a，1，1+a}，ZG2的零因子集合D(Z2

6、G2)={0，1+a}。因此，P(ZG)为单点图(不含任何边)，此时gr(F(ZG))一。。，diam(F(ZG2))一0。例2Z。一{0，1，2)，G。一{1，a)，Z。G。是含有两个极大理想的半局部环，Z。G。Z。oZ。，r(Z。G。)如图1所示，因此，F(Z。G2)为完全二分图，gr(F(Z。G2))一4，diam(F(Z。G。))一2。例3Z4一{0，1，2，3)，G2一{1，口)，D(Z4G2)一{1+口，1+3口，3+口，3+3a，0，2，2口，2+2口)，I1(ZG)如图2所示，因此，gr(F(ZG。))一3，diam(r(

7、ZG。))一2。例4Z：一{0，1)，G。一{1，a，a。}，ZG。Z。oF，其中F为4元有限域，令F一{0，1，a，b)，则I1(Z2G3)如图3所示，因此，gr(F(Z2G3))一oO，diam(F(Z2G3))一2。例5Z3一{0，1，2)，G3：=：{1，口，a}，D(Z3G3)一{0，a一1，2口一2，口。一1，a。+a+1，a。+2a，2a。一2，2口+口，2n。+2口+2)，F(Z。G3)如图4所示，因此，gr(F(Z3G3))一3，diam(r(Z。G3))一2。例6Z一{0，1，2，3，4)，G。={1，口，a。)，ZG

8、。ozZ。①F其中F。为25元有限域，P(ZG。)为完全二部图，因此gr(F(Z5G。))一4，diam(F(Z5G3))：2，F(Z5G。)为非平面图。2+2a(0，1)(O，2)+口(1。