近世代数课件--32交换律、单位元、零因子、整环

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1、§2.交换律、单位元、零因子、整环内容提要：2.1交换律2.2单位元与可逆元2.3零因子与消去律2.4整环与例子重点:发现一些特殊环中的单位元、可逆元、零因子.掌握一些整环的正反例子.2.1交换律在环定义里我们没有要求环的乘法适合交换律,所以在一个环里ab未必等于ba。定义一个环R叫做一个交换环，假如:不管a，b是R的哪两个元。检验在上一节给出的例子:数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环2.1交换律检验在上一节给出的例子数集中的环全矩阵环:它一些子集也可以构成环多项式环:它一些子集也可以构成环剩余类环:2.2单位元与可逆元定义一个环R的一个元e叫做一个单位元，假如对于R的任意元a来说

2、，都有注1.环R的单位元用注2.单边单位元:和2.2单位元与可逆元定义一个有单位元环的一个元b叫做元的一个逆元，假如注3:在有单位元的情况下谈逆元,逆元相对单位元而产生.注4:可以定义左(右逆元)2.2单位元与可逆元找下面例子的单位元与可逆元数集中的环全矩阵环:它一些子集也可以构成环多项式环:它一些子集也可以构成环剩余类环:2.2单位元与可逆元以n=8为例,归纳结论:[a]可逆的充分必要条件:…..??证明:……..2.3零因子定义若是在一个环里,如果我们就说,a是这个环的左零因子，b是这个环的右零因子。刻画出矩阵环和剩余类环中的零因子2.3零因子定理在一个没有零因子的环里两个消去律都成

3、立：反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个削去律也成立。定义一个环R叫做一个整环，假如1.乘法适合交换律：2.R有单位元1：3.R没有零因子：检验在上一节给出的例子:数集中的环、全矩阵环、多项式环、剩余类环作业,P89:2-4