近世代数课件--5.2单扩域

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1、§．单扩域假定是域的扩域，而是的一个元．要讨论单扩域的结构，我们把的元分成两类．定义叫做域上的一个代数元，假如存在的不都等于零的元，，…，，使得…假如这样的，，…，不存在，就叫做上的一个超越元．若是上的一个代数元，就叫做的一个单代数扩域；若是上的一个超越元，就叫做的一个单超越扩域．单扩域的结构通过以下定理可以掌握定理１若是上的一个超越元，那么的商域这里是上的一个未定元的多项式环．若是上的一个代数元，那么这里是的一个唯一的确定的、最高系数为１的不可约多项式，并且．证明包含上的的多项式环一切，我们知道，是上的未定元的多项式环到的同态满射，现在我们分两个情形来看．情形１．是上的超越元．这时以上映射是

2、同构映射：由Ⅲ，１０，定理４，的商域的商域由Ⅲ，１０，定理３，我们可以知道，（１）　　　的商域另一方面，的商域包含也包含，因此，由的定义（２）　　　　　　　　的商域由（１）和（２）得的商域因而的商域情形２．是上的代数元．这时这里是上述同态满射的核．由Ⅳ，４，定理３和定理１，是一个主理想环，所以的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子，而的单位就是的非零元．所以令的最高系数是１，就是唯一确定的．由的定得：；由此得不是的非零元．但是上的代数元，所以也不是零多项式．因此，的次数≥１．我们说，是的一个不可约多项式．不然的话，将有，和的次数＜的次数或从而得但和是域的元，而域没有零

3、因子，所以由上式可以得到这就是说，或，即这是一个矛盾．或这样，是一个不可约多项式，因而是的一个最大理想，而是一个域．这样是一个域．但包含也包含，并且，所以证完以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域．当是域上代数元的时候，我们还可以把描述得更清楚一点．定理２令是域上的一个代数元，并且那么的每一个元都可以唯一地表成的形式，这里是的次数．要把这样的两个多项式和相加，只需把相当的系数相加；与的乘积等于，这里是用除所得的余式．证明由于，所以的一个任意元可以写成的形式．但其中因而，由于，有这种表示方法是唯一的．因为：假如，和的次数＜那么由于的次数＜，得，由以上证明可以看出，定理的后一部分成立．证完．，我们

4、已经看到，多项式对于一个单代数扩域的重要性．显然是理想里的一个次数最低的多项式．定义中满足条件的次数最低的多项式叫做元的在上的极小多项式．叫做的在上的次数．以上的讨论是在域有扩域的前提下进行的．现在我们问，若是只给了一个域，是不是的单扩域存在？存在的单超越扩域容易看出．我们知道，上的一个未定元的多项式环和的商域都是存在的．的商域显然是包含和的最小域，而按照未定元的定义，是上的一个超越元．因此的商域就是的一个单超越扩域．由定理１，的任何单超越扩域都是同构的．现在我们证明定理３对于任一给定域以及上一元多项式环的给定不可约多项式总存在的单代数扩域，其中在上的极小多项式是．证明有了和，我们可以作剩余类

5、环因为是不可约多项式，所以是一个最大理想，因而是一个域．我们知道，有到的同态满射这里是所在的剩余类．由于，在这个同态满射之下，与同构．这样，由于和没有共同元，根据Ⅲ，５，定理４．我们可以把的子集用来掉换，而得到一个域，使得，现在我们看的元在里的象．由于所以在里因此，假如我们把在里的逆象叫做，我们就有这样，域包含一个上的代数元．我们证明，就是在上的极小多项式．令是在上的极小多项式．那么中一切满足条件的多项式显然作成一个理想，而这个理想就是主理想（参看Ⅳ，４，定理１的证明）．因此能被整除．但不可约，所以一定有，但和的最高系数都是１，所以，而因此我们可以在域中作单扩域，而能满足定理的要求．实际上，．

6、这一点我们留给读者去证明．证完．给了域和的一个最高系数为１的不可约多项式，可能存在若干个单代数扩域，都满足定理３的要求．但我们有定理４令和是域的两个单代数扩域，并且和在上有相同的极小多项式．那么和同构．证明假定的次数是．那么的元都可以写成的形式，而的元都可以写成的形式，这里．映射显然是和间的同构映射．证完．总起来，我们有定理５在同构的意义下，存在而且仅存在域的一个单扩域，其中的极小多项式是的给定的，最高系数为１的不可约多项式．