近世代数课件-5.3扩域.ppt

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1、§3.代数扩域上一节的结果告诉我们，把域上一个超越元或一个代数元添加于所得到的单扩域的结构完全不同．我们有以下事实：设是的一个扩域，并且含有上的超越元．那么总存在的一个子域，使得是由添加上的超越元于而得到的，而只含上的代数元．这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域，而只对代数的扩域作一些进一步的研究．，定义若域的一个扩域的每一个元都是上的一个代数元，那么叫做的一个代数扩域（扩张）．我们首先提出以下问题：假定是添加集合与域所得的扩域，并且的元都是上的代数元

2、，那么的元是否都是上的代数元？为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念．假定是域的一个扩域．那么对于的加法和到的乘法来说，作成上的一个向量空间，或者有一个维数，是正整数；或者是一个无限维空间．定义若是域的一个扩域作为上的向量空间有维数，那么叫做扩域在上的次数，记做．这时叫做域的一个有限扩域；否则叫做域的一个无限扩域．关于扩域的次数我们有重要的定理１令是域的有限扩域，而是的有限扩域．那么也是的有限扩域，并且证明设，，而，，…，是向量空间在域上的一个基，，，…，是向量空间在域上的一个基．看的元（１，２，…，；　１，２，…，）我们只须证明，这个

3、元是向量空间在域上的一个基．设那么，由于对于来说线形无关，我们得（１，２，…，）但对于来说线形无关，因而（１，２，…，；　１，２，…，）这就是说，以上的个的元对于来说线形无关．现在假定是的一个任意元．因为是上的的一个基，又由于是上的的一个基，这样，我们有这就证明了，是向量空间在域上的一个基．证完．推论１令是域，其中后一个是前一个的有限扩域．那么以下等式成立：现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题．定理２令是域的一个单代数扩域．那么是的一个代数扩域．证明令在上的极小多项式的次数是．由Ⅴ，２，定理２，的每一个元都可以唯一地表成的形式．这就是说

4、，元１，，…，作成上的向量空间的一个基，因此是的一个次有限扩域．令是的一个任意元．那么１，，，…，这个元对于来说相形相关．因此，在中存在不都等于零的个元，，…，，能使这就是说，的任意元都是上的代数元，而是的代数扩域．证完．由定理２的证明可以得到以下两个重要事实．推论２令是域的一个单代数扩域，而在上的极小多项式的次数是．那么是的一个次扩域．推论３域的有限扩域一定是的代数扩域．定理３令，其中每一个都是域上的代数元．那么是的有限扩域，因而是的代数扩域．证明我们用归纳法．由定理２，当的时候，定理成立．假定，当我们只添加个元，，…，于时，定理成立，也就是

5、说，假定是的有限扩域．现在来看的情形．我们知道，由于是上的代数元，所以它也是上的代数元．因此是的单代数扩域，而由推论２，是的有限扩域．由于根据定理１，是的有限扩域，于是由推论３，它是的代数扩域．证完．推论４一个域上的两个代数元的和、差、积与商（分母不为零）仍是上的代数元．定理４令，这里集合只包含域上的代数元．那么是的代数扩域．证明令是的任意元．根据Ⅴ，１，（１）式，这里是中有限个元素，而和是上这些的多项式．这样．于是由定理３，是上的代数元．证完．