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时间:2020-01-11
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1、单扩域的研究摘要:从群环域中的分类,域是一类特殊的环,比一般的欢更具有特殊性质。大体上,实数域是在他的子域有理数域中建立起来的,复数域是在他的子域上建立起来的。所以从历史上讲,对于域的研究只是从一个给定的域出发,来研究他的扩域。本文主要研究单扩域的一些基本性质。关键词:环:域;单扩域;1扩域的概念1.1素域的基本概念定义1:如果域它不含真子域,则称为一个素域。例1:以素数为模的剩余类环是一个素域。定义2:设是域,若元素1在(,+)中的阶数为素数,则称为域的特征。例2:若元素1在(,+)中的阶数为无穷大,则称的特征为0,的特征记作。引理1
2、:设和都是有无零因子的交换环,且和同构,即,和分别是和的分式域,则且当时,有。定理1:设是一个域,若的特征是0,那么包含一个有理数同构的素域;若的特征是素数,那么包含一个与同构的素域。证明:设是域的单位元,作集合,那么,是整数环到的一个同态满射。事实上,显然是满射,且,,有;,当的特征是0时,,即是一个单射,得是一个同构映射,即。设的分式域为,则包含,由引理1知,的分式域同构,而整数环的分式域为有理数,即。当的特征是素数时,则有。事实上,由,得。而是的极大理想,则,即。故只有。根据环的同态基本定理有。当是素域时,则只有平凡子域本身,在上
3、述的证明过程中,当=0时,有;当时,有。结论成立。1.2域的扩张定义3:设()是域,是的非空子集,且()也是域,则称是的子域,是的扩域,记做。定义4:设是一个加群,是一个域,对任何定义一个元素满足下列性质:恒有下列性质;;;。则称是域上的一个向量空间(线性空间)。定义5:设是域的扩张,为的子集,中含有和的子域;同时含有和的域的交仍是的子域,这就是最小子域。称这个最小子域为在上由生成的扩域,也称添加得到的扩域,记做。定义6:由于对的扩张次数,记做。当有限时,称是的有限扩张,否则称为无限扩张。引理2:设为的扩域,是的一个非空的有限子集,即,
4、则=其中为域关于元素的多项式环。也就是说,域在中的分式域。引理3:设为的扩域,为的一个非空子集,则,其中为的任意有限子集。引理4:设为的扩域,为的一个非空子集,则。引理5:设为的扩域,为的一个非空子集,则。2单扩域2.1代数元和超越元定义7:设为的扩域,,则称为添加所得的单扩域。定义8:设为的扩域,,如果是域上的一个非零多项式的根,则称为域的一个代数元,叫做上的一个单代数扩域;如果不是域上任意非零多项式的根,则称为域上一个超越元,叫做上的一个单超越扩域。例3是上的代数元。证:,,即,得出是有理数域上的多项式的根,所以是上的代数元。定理2
5、:设为的扩域,,令,则是的一个理想,且。当为上的代数元时,是由中的不可约多项式生成的,即;当是上的超越元时,,即。证明:做映射,容易看出是环的同态满射,且,所以,是的一个理想。因此,由环的同态基本定理得出。当为上的代数元时,,由于是一个欧式环,因而它是一个主理想环。设,只需要证明是的一个不可约多项式。由于,即,显然为非零且非零次的多项式,即是中的非零单位的元,如果是中的可约元,则有真因子分解,其中和的次数都低于的次数,而,由于中无零因子,则必有或。不妨假设,所以,,从而得矛盾。因而是的一个不可约多项式。当为上的超越元时,显然有。推论:设
6、为的扩域,,则是域当且仅当是上的代数元。证明:设为上的代数元,则由定理2得,而为中的不可约元,因而是的一个极大理想,于是是一个域。反之,设为的超越元,则,而不是域。定义9:设是中次数最低、首项系数为1的多项式,则称为的域上的极小多项式,而次数称为在上的次数。定理3:域上的代数元在上的极小多项式是理想的生成元,且是中的不可约多项式,它对来说是唯一的。证:由于是一个主理想,设。由于,故,因而。又因为是中次数最低的多项式,则有,即因而,由定理2可知是中的不可约多项式。若有两个极小多项式,,则由于与的首项系数都为1,所以,得,既有。定理4:设为
7、域上的一个代数元,而为的不可约多项式,而且首项系数为1,,那么,是在上的极小多项式。证明:因为,即。如果的极小多项式为与首项系数都是1,故=。2.2单扩域的结构定理5:设为的扩域,。若是上的一个超越元,那么的分式域,其中是域上关于为定元的一元多项式环;若是上的一个次代数元,那么,,且任意中的元素都可唯一的表示为的形式,其中。证明:当时域的一个超越元时,由前面推理知,又由定理2知,,因为同构的环,他们的分式域也同构,而的分式域恰好也是,所以,的分式域。当是域上的一个次代数元时,由以前证明知,是一个域,它同时包含和,所以,;显然我们有,所以
8、相等。设的极小多项式为,且,则用对进行带余除法,设,其中,由知。在证明其表达式的唯一性,设有两种表达形式,,则是多项式。的根,因而,故,所以,。例4:写出有理数域上的单代数与中的元素的一般形式,求在中的逆元
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