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1、第28卷第4期广西师范大学学报:自然科学版Vol.28No.42010年12月JournalofGuangxiNormalUniversity:NaturalScienceEditionDec.2010群环ZnS3的零因子图覃庆玲,易忠,黄逸飞(广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004)摘要:本文讨论ZnS3的零因子,并对ZnS3的有向零因子图(ZnS3)的围长和直径进行较为具体的刻画:—(ZtnS3)的围长为3;diam((ZnS3))=2n=3,t≥1。ZnS3的无向零因子图(ZnS3)为非平面图。关键词:零因子图;直径;围长;平面性中图分类号:O1
2、53.3文献标识码:A文章编号:1001-6600(2010)04-0054-04群环是一个很重要的环类,它不仅与群论、环论有关,而且与域论、线性代数、代数数论、图论等有密切的联系。环的零因子图的研究刻画了环的零因子的结构,使得抽象的代数结构能用图直观地表示出来。国内外许多学者对一些具体的交换环的零因子图的性质进行了研究:D.F.Anderson、R.Levy和J.Shapiro在文献[1]中研究了Von-Neumann正则环的零因子图;郭述锋等在文献[2]中研究了ZnG的零因子图的性质;唐高华等在文献[3]中研究了模n高斯整数环的零因子图的性质。类似于交换环的零因子图
3、,S.P.Redmond在文献[4]中介绍了非交换环的零因子图的定义。许多学者对非交换的情形进行了研究,取得了[5-6]一定的成果。由群的Cayley定理可知,对称群是一个很重要的群类,本文刻画群环ZnS3的零因子图的性质。1基本概念与记号322模n剩余类环记为Zn={0,1,2,⋯,n-1},3次对称群记为S3=〈a,ba=b=(ab)=1〉={1,b,ab,22ab,a,a},记群S3在环Zn上的群环为ZnS3,则ZnS3={=aggag∈Zn},supp()={g∈S3ag≠0}。群g∈S3环中的符号参看文献[7]。设R是有单位元的非交换环,DL(R)
4、、DR(R)和D(R)分别代表R的左、右和双*侧零因子的集合。定义D(R)=D(R){0}。我们定义非交换环R的零因子图是一个有向图(R),其顶*点集为D(R),对于2个不同的顶点、,→是一条边当且仅当=0。我们说一个有向图P是连通的,是指对于任意2个不同的顶点、,存在沿着有向边的一条路=1→2→⋯→n=,图P上两点、之间的距离d(,)是指与之间沿着有向边最短路的长度。图P的直径diam(P)=sup{d(,),∈V(P)}。有向图P的圈是形如12⋯n1的双向闭合路,其中1,2,⋯,n∈V(P)。圈的长度定义为顶点的个数,图
5、P的围长是指图P中最短圈的长度,记作gr(P),如果图P不含圈,则记gr(P)=∞。同—*样,可以定义环R的零因子图为一个简单无向图(R),顶点集为D(R),对于2个不同的顶点、,-是一条边当且仅当=0或者=0。我们称图P为平面图是指它能画在平面上使得它的边仅在端点相交。图论中的符号参看文献[8]。记AB={∈A,∈B},Mn(F)为域F上的n阶全矩阵环,本文中均设n≥2。2主要结果与证明rrr在群环ZnS3中,设n=p11p22⋯pss为n的标准素因子分解式,则有Zn!Zpr1∀Zpr2∀⋯∀Zprs,从而ZnS312s收稿日期:2010-06-22基
6、金项目:国家自然科学基金资助项目(60473005);广西自然科学基金资助项目(2010GXNSFA013118);广西教育厅科研项目(桂教科研[2009]25号);广西研究生教育创新计划项目(2010106020701M43)通讯联系人:易忠(1961—),男,湖南长沙人,广西师范大学教授,博士。E-mail:zyi@mailbox.gxnu.edu.cn第4期覃庆玲等:群环ZnS3的零因子图55!Zpr1S3∀Zpr2S3∀⋯∀ZprsS3。由此可知,要刻画ZnS3的零因子,首先要刻画ZpS3及ZptS3的零因子。12s22下面将ZtpS3中形如=x1+x2b+x
7、3ab+x4ab+x5a+x6a(0≤xi≤p-1)的元素的集合记为ZpS3,记其子集D(ZpS3)={∈ZpS3#0≠∈ZpS3,使得≡0(modp)或≡0(modp)}。在模p运算下,两者分t别同构于群环ZpS3及其零因子D(ZpS3)。Zpt={0,1,⋯,p-1}为局部环,它有唯一的极大理想I={0,p,t-1(1)(2)2(3)2p,⋯,(p-1)p}。根据文献[9]定理13,我们知道∃x∈Ztp都可以表示成p进制x=x+px+pxt-1(t)(i)22+⋯+px,其中0≤x≤p-1,i=1,2,⋯,t。因此∃=x1+
