除环和域无零因子环的特征

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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第3节整环,除环和域河北师范大学第三章环与域定义一个交换的,有单位元且的无零因子环称为整环.例1整数环,高斯整环都是整环,而偶数环为无零因子的交换环。定义：设是有单位元的环,且如果中每个非零元都可逆,则称为除环.交换的除环称为域.例2都是域.例3为域.是有单位元的交换环.的每个非零元都可逆.证明证明可证下证,例4模m的剩余类环零元为[0],单位元为[1].而且有结论为域为素数.为此先考虑以下性质即可：性质1设,则为的零因子(1)(2)为

2、的可逆元证：(1)若为的零因子,则存在,使得故.若,则,所以,矛盾.于是.反之,如果,设则所以,但于是是零因子.(2)若为的可逆元,则,即于是,使得,也就是所以反之,如果,则,因此,故可逆.剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.性质2为无零因子环为素数.为素数，若则，或者，即若不是素数，则证：设为无零因子环.为有零因子环.例5解(1)(2)直接计算可知,相应的逆元为全部零因子:全部可逆元:域的除法设为域,则对任意的有，记作由此可定义域的"除法":设,规定称为以除的商.且有下列运算法则:说明：（1）整环，除环和域都是无零因子的环

3、;(2)R中至少2个元，则环R为除环当且仅当R中全体非零元集合R*关于乘法做成群；环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换群.（3）除环中例5第4节无零因子环的特征我们知道，任意数环中，任意两个非零数之积还是非零数，而且对有在模n的剩余类环中，而且满足条件的最小正整数n是存在的.不难发现，以上性质和环中元的加法阶有关.定理1：无零因子环中任意非零元对加法的阶相同.证明：若都无限，阶相同.定义：对于加法来说，一个无零因子环R的非零元的相同的（加法）阶叫做环R的特征。记作charR。注：若无零因子环R的特征是n，则R的所有

4、非零元的n倍为零元。定理2：无零因子环的特征或者无限，或者为素数.证明：（反证法）设有限且为合数与无零因子环矛盾，故假设不成立.推论：整环，除环和域的特征或为无限大或为素数p.性质：在特征为p的交换环R里，有