数字信号处理答案第2章.ppt

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1、第3章　离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)11．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1)x(n)=1(2)x(n)=δ(n)(3)x(n)=δ(n－n0)0

2、计算：8解法二由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以9即结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(9)解法一直接计算:10解法二由DFT共轭对称性可得同样结果。因为11（10）解法一上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)12故当k=0时，可直接计算得出X(0)为这样，X(k)可写成如下形式：13解法二k=0时，k≠0时，14所以，，即2．已知下列

3、X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］(1)15(2)其中，m为正整数，0

4、］=Nx(N－k)证：因为所以21由于≤≤所以DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－15．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理证:由IDFT定义式22可知6．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n)m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。解:H(k)=DFT［h(n)］0≤k≤mN－1令n=n′+lN,l=0,1,…,m－1,n′=0,1,…,N－1,则23因为24所以7．证明

5、:若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。25证:(1)由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］

6、,是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(k)=X*(N－k)。26（2）由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以，当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由

7、（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。27同理，当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。8．证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则28证：29令m=k+l,则9．已知x(n)长度为N，X(

8、k)=DFT［x(n)］，≤≤≤≤30≤≤求Y(k)与X(k)的关系式。解:3110．证明离散相关定理。若X(k)=X1*(k)Ｘ2(k)则证：根据DFT的惟一性，只要证明即可。3233令m=l+n，则所以≤≤34当然也可以直接计算X(k)=X1*(k)X2(k)的IDFT