玩弄三角板,探究无极限.doc

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1、玩弄三角板，探究无极限六神中学翟展2014.9.14.上传三角板是教师常用的教具和学生的学具，也是测量和绘图的重要工具•一副普通的三角板，可以演绎出丰富多彩的问题情境，由此衍生了无限风光的探究问题•近年来，部分省市的屮考试题屮，以三角板为载体，编拟出一些面孔新、形式活的题目•这类问题让学生体验到数学的趣咪性•有利于学生主动地进行观察、实验、操作、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生积极探索的创新精神.现举例赏析如下：一、拼凑、旋转三角板（形）例1（2013年梅州市）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图屮已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角

2、形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P.（1）当点P运动到ZCFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程屮出现PA二FC时，求ZPAB的度数.探究二：如图④，将ADEF的顶点D放在AABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转屮心旋转ADEF,使ADEF的两宜角边与AABC的两肓角边分别交于M、N两点，连接MN.在旋转ADEF的过程屮，AAMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在,请说明理由.答图1答图2,・・・CF二BC・sin30°由题意，得ZCFB二60°,FP为角平分线，则ZCFP二30°ACP=CF*tanZCFP

3、=V3X—=1.过点A作AG丄BC于点G,贝ljAG=-BC=-,322APG=CG-CP=--1=-.22在RtAAPC；屮，由勾股定理得：AP=7aG2+PG2=J(-)2+(-)2-.V222（2）由（1）可知，FC=V3.如答图2所示，以点A为圆心，以FC=V3长为半径画弧，与BC交于点匕、P2,则AP产AP2二巧.13过点A过AG丄BC于点G,贝！JAG二—BC=—•22在RtAAGPl中,3XG5V3cosZPiAG=二=——AP、厲2:.ZPiAG=30°•ZPiABM50-30°CZMAD=ZC

4、同理求得，ZP2AG=30°,ZP2AB二45°+30°=75°・AZPAB的度数为15°或75°・如答图3所示,连接AD.•••△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的屮点，・・・AD二CD,ZOZMAD二45°・VZEDF=90°,ZADC=90°,AZMDA=ZNDC.・••在△人入⑴与厶CND中,ZMDA=乙NDC&qx.设AM=x,则CN=x,AN二AC-CN二、二BC-CN二匸二22在RtAAMN屮，由勾股定理得：MN二如宀血二右2十（半一兀）2二］（无_半）2+专.△AM的周长为：AM+AN+MN二一-2攀嗚,当£1时,有最小值,最小值为昭*碁毛返....△邮周长

5、的最小值为呼.赏析：此题三角形(板)为背景，展示了数学的丰富内涵，材料平实、亲切，具有挑战性•让学生经历“观察——操作——猜想——证明——拓展”的过程，较好地考杏了学生运用知识和探究问题的能力，践行了新课标的精神•二、平移三角板例2(2013年广东省)有一副直角三角板，在三角板ABC屮，ZBAC二90°,AB=AC=6,在三角板DEF«p,ZFDE=90°,DFM,DE=4a/3•将这副直角三角板按如图⑴所示位置摆放，点B与点F重合,肓角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.(1)如图(2),当三角板DEF

6、运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M,则ZEMC二度；(2)如图(3),在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中，设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函简解：(1)15；(2)在RtACFA中,AC二6,ZACF=ZE=30°,AFC=题2Sffl(3)ACcos30°=4^3(3)如图(4),设过点M作MN丄AB于点N,则MN#DE,ZNMB=ZB=45°,NB=NM,NF二NB-FB二MN-x•・・MN〃DE,・•・AFMN^FED,/.竺=LlLDEFD即牛4V3MN-x""4/.MN=①当0

7、(4),设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+xBM卜'•兀•3+73X1+V3E图（4）E图(5)E②当2