《直线与平面的夹角》PPT课件.ppt

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1、3.23.2.3直线与平面的夹角理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何考点三3．2.3直线与平面的夹角如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中．问题1：AC是A1C在平面ABCD内的射影吗？提示：因为AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影．问题3：由问题2你能得到什么结论？提示：斜线与射影的夹角小于斜线与平面内其他直线的夹角．提示：当θ为锐角时α＋θ＝90°，当θ为钝角时，θ＝90°＋α.问题2：你能比较∠A1CA与∠A1CB的大小吗？1．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平

2、面垂直，这条直线与平面的夹角为；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为；(3)斜线和它在平面内的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)；(4)直线与平面的夹角的范围是．0射影2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：如图，OB是OA在平面α内的射影，OM⊂α，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则cosθ＝．cosθ1cosθ2它在平面内的射影1．斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．2．cosθ＝cosθ1·cosθ2中，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影

3、，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角，θ>θ1，θ>θ2.[例1]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值．[思路点拨]作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影．[精解详析]作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥面A1BCD1，所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影，从而∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的

4、角．[一点通]作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．解：(1)证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，又∵∠BAD＝90°，∴AD⊥面PAB，∴AD⊥PB.∴P

5、B⊥平面ADMN.∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小．[例2]∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．[思路点拨]根据定义或cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．[一点通]求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内

6、的射影．解法二则灵活应用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角，也是常用的方法．答案：C4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中(如图)，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，求直线AD与平面BMD1N所成角的余弦值．6.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.求直线与平面所成角的方法：(1)定义法：

7、找(或作)出直线在平面内的射影，得到线面角，通过解三角形进行计算．(2)公式法：利用cosθ＝cosθ1cosθ2计算．(3)向量法：求直线的方向向量u，平面的法向量n，则直线与平面成角θ的正弦值为sinθ＝

8、cos〈u，n〉

9、.点击下图进入“应用创新演练”