第三讲 高考中的数学思想方法

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1、第三讲高考中的数学思想方法在高考中把考查数学思想方法作为一个重要内容。一、高考要求考查的数学思想方法考查数学思想方法是《数学考试说明》中的一项基本要求，同时也是由于数学科的特点所决定的。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度。考查时，要从学科整体意义的思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检验考生对中学数学知识中蕴涵的数学思

2、想和方法的掌握程度。一般认为中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，必然与或然思想等。数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等。数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等，它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想方法的考查要结合数学知识多层次进行。经过多年的实践，对数学思想和方法的考查重要性的认识更加明确，自觉性更加增强，运用更加成熟。我们可以看出对数学思想方法

3、的考查有以下几个特点：1、基本的思想方法是年年都要考的。102、对思想方法的考查已由单纯的直接考查转化为用这些观点进行数学思维的考查。3、以思想方法来考查考生的数学素养、聪明程度、个性品质和潜能。二、高考中考查数学思想方法试题的编写过程举例高考中如何考查数学思想方法，考查数学思想方法的试题是如何命制出来的，这是大家很关心的问题。下面是高考命题专家任子朝叙述的当年命题的过程：例1已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，设图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1

4、），设数列{x}由f（x）=n（n=1，2，…）定义（Ⅰ）求x，x和x的表达式；（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。函数的概念、性质与应用是初、高中数学的一个核心内容，函数的概念涉及三个要素：定义域、值域和对应关系（或映射规则），其核心内容是对应关系或映射规则，而定义域、值域是对于对应关系的进一步描述，描述函数就是描述它的对应关系，通常函数的表述方法有三种：解析式子表述法，语言文字表述法和坐标平面上的图象表述法，10函数的对应关系一旦确定，

5、为了方便，我们把参与映射的两个集合的元素分别赋予自变量、因变量的名称，把一个映射方向称为函数，其相反方向则称为反函数，而对应关系或映射规则是两者互动状态的描写。这个试题的编制，以中学三类基本初等函数中最简单的一次函数为知识栽体，一反用解析式子给出函数的习惯，用描写函数图象给出函数关系，希望通过此题来考查考生对函数概念的深刻内涵的理解程度，创造性地运用数学基础知识的能力，同时考查学生的思维品质和数学素质。本题给出这样的题干：“已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…

6、…）时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），设数列{x}由f（x）=n（n=1，2，…）定义”。由此题干该提出的中心问题，自然应该是“求函数f（x）的表达式”，由于它是用图象表述给出函数关系，自然地建立了函数与解析几何的联系，考生可以借助画辅助图形的方法，在每一区间［n，n+1］画出斜率为b的折线段，得到一个基本图形，从中受到启发，可以运用点斜式求直线方程的方法，表述出每一个区间［n，n+1］上的线段所在的直线方程，形成如下基本解题思路：当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b°=1的线段，它所在

7、的直线方程是y=x，0≤x≤1当n≤y≤n+1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，它所在的直线方程是y=n+b（x-x），x≤x≤X，n=1，2，3，…得到函数关系式之后必须确定这函数的定义域，10为了求出定义域，必须表述x=g（b）在已有的求直线方程的整体思想框架下，由于f（x）=n，f（x）=n+1，于是有n+1=n+b（x-x），即x-x=，n=1，2，3，…由此可知，数列{x-x}是首项为1，公比为的等比数列，从而启发我们利用等比数列的求和方法，求出横坐标的点列{x}即x=这个解题思想，为

8、了便于考生思考和表述，试题设置为两问：“（1）求x，x和x的表达式；（2）求f（x）的表达式，并写出定义域；”其中之所以要先求x，x，目的是让考生能从特例出发去探求，尽快形成思路。确定函数y=f（x）定义域的过程，在得到x=g（b）之后，要注意到题中给出的“b是正常数且不等于1”，并非某个具体数值，b的每一个确定值能作出一条折线，事实上是形成一折线族，于是，必须研究当b