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1、由已知分布的随机抽样Outline随机抽样及其特点直接抽样方法挑选抽样方法(筛选抽样）替换抽样方法随机抽样的其它方法Matlab随机抽样及其特点由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体中抽取简单子样。随机数序列（随机数）是由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用严格的数学方法产生的。用XF表示由己知分布F(x)中产生的简单子样的个体，即表示随机变量XF服从概率分布F(x)。对于连续型分布，常用分布密度函数f(x)表示总
2、体的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函数f(x)产生的简单子样的个体。离散型分布的直接抽样方法对于任意离散型分布：其中x1，x2，…为离散型分布函数的跳跃点，P1，P2，…为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型分布的直接抽样方法如下：该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽样，直接抽样方法是非常理想的。例1.离散型分布随机数的产生设X为预测某公司投放某种产品到市场的数量，其数量与概率分布列如下表：直接抽样：产生一个随机数ξ～U[0，1]，例如ξ=0.52，根据累积概率分布曲线即可找到随机数值=40.如下表：X10204060
3、P(X)0.280.140.300.28ξ[0,0.28](0.28,0.42](0.42,0.72](0.72,1]X10204060例2.二项分布的抽样二项分布为离散型分布，其概率函数为：其中，P为成功的概率。对该分布的直接抽样方法如下：例3.泊松(Possion)分布的抽样泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为：其中，λ>0。对该分布的直接抽样方法如下：例4.掷骰子点数的抽样掷骰子点数X=n的概率为：选取随机数ξ，如则在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：其中［］表示取整数。连续型分布的直接抽样方法直接抽样方法
4、回顾随机数的性质：随机数为服从(0,1)区间上的均匀分布的随机变量。设X~U(0,1)，其分布函数形式为直接抽样方法定理：已知随机变量X的分布函数为FX(x)，定义随机变量Y=FX(X),(Y为随机变量X的函数），可以证明随机变量Y服从(0，1)区间上的均匀分布。即：证明：直接抽样方法直接抽样方法（反函数法）定理的应用（直接抽样产生服从F(x)分布的随机变量）：设随机变量X~U(0,1)，对任意的连续分布函数F,随机变量Y=F-1(X)服从F分布。证明：更加严格的证明(略)例5.在[a,b]上均匀分布的抽样在[a,b]上均匀分布的分布
5、函数为：例6.β分布β分布为连续型分布，作为它的一个特例其密度函数是：其分布函数为：则抽样方法为：例6.β分布Matlab数值实验data1=betarnd(2,1,10000,1);data2=rand(10000,1);data3=sqrt(data2);subplot(1,3,1);hist(data1);subplot(1,3,2);hist(data2);subplot(1,3,3);hist(data3);betafit(data3);例7.指数分布指数分布为连续型分布，其一般形式如下：其分布函数为：则因为1－ξ也是随机数
6、，可将上式简化为连续性分布函数的直接抽样方法对于分布函数的反函数存在且容易实现的情况，使用起来是很方便的。但对于以下几种情况，直接抽样法是不合适的。分布函数无法用解析形式给出，因而其反函数也无法给出。分布函数可以给出其解析形式，但是反函数给不出来。分布函数即使能够给出反函数，但运算量很大。直接抽样方法的特点：挑选抽样方法(acceptance/rejection)为了实现从己知分布密度函数f(x)抽样，选取与f(x)取值范围相同的易于抽样分布密度函数h(x)，如果>即从h(x)中抽样Xh，以的概率接受它。则挑选抽样方法为：下面证明Xf
7、服从分布密度函数f(x)。证明：对于任意x证明：筛选抽样证明：筛选抽样（cont.)两点提示：选取h(x)时要使得h(x)容易抽样且M的值要尽量小。M越小越能提高抽样效率。抽样效率是指在挑选抽样方法中进行挑选时被选中的概率。该方法的抽样效率E为：筛选抽样的特点所以，M越小，抽样效率越高。例8.圆内均匀分布抽样令圆半径为R0，点到圆心的距离为r，则r的分布密度函数为分布函数为容易知道，该分布的直接抽样方法是由于开方运算在计算机上很费时间，该方法不是好方法。下面使用挑选抽样方法：取＞≤例8.圆内均匀分布抽样(cont.)显然，没有必要舍弃
8、ξ1＞ξ2的情况，此时，只需取就可以了，亦即例8.圆内均匀分布抽样(cont.)为了实现某个复杂的随机变量y的抽样，将其表示成若干个简单的随机变量x1，x2，…，xn的函数4.替换抽样方法得到x1，x2，…，xn的抽样后
