用迭代法求代数方程的近似根.ppt

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1、用迭代法求代数方程的近似根1解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：不动点迭代法和牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab来求方程的近似解问题背景和实验目的代数方程近似求解(教材第92-94页)2相关概念若f(x)是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程线性方程与非线性方程本实验主要讨论非线性方程的数值求解3内容提要求解非线性方程的数值算法牛顿迭

2、代法不动点迭代法4不动点迭代法构造f(x)=0的一个等价方程：从某个近似根x0出发，计算得到一个迭代序列k=0,1,2,......(x)的不动点f(x)=0x=(x)等价变换f(x)的零点不动点迭代基本思想5若收敛，即，假设(x)连续，则收敛性分析迭代法的收敛即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！例：用迭代法求x3-3x+1=0在[0,1]中的解。fuluA.m6定义：迭代法收敛性判断定理2：如果定理1的条件成立，则有如下估计如果存在x*的某个邻域=(x*-,x*+),使得对x0开始的迭代xk+1=(xk)都收敛,则称该迭代法在x*附近局部收敛。定理1：设x*=(

3、x*)，’(x)在x*的某个邻域内连续，且对x都有

4、’(x)

5、q<1,则对x0，由迭代xk+1=(xk)得到的点列收敛7迭代法收敛性判断定理3：已知方程x=(x)，且(1)对x[a,b]，有(x)[a,b]；(2)对x[a,b]，有

6、’(x)

7、q<1；q越小，迭代收敛越快’(x*)越小，迭代收敛越快则对x0[a,b]，由迭代xk+1=(xk)得到的点列都收敛，且8牛顿迭代法令：牛顿法基本思想用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法设非线性方程f(x)=0,f(x)在x0处的Taylor展开为9牛顿法迭代公式牛顿迭代公式k=0,1,2,.

8、.....牛顿法的收敛速度令牛顿法至少二阶局部收敛当f’(x*)0时’(x*)=0(x)即为牛顿法的迭代函数例：用牛顿法求x3-3x+1=0在[0,1]中的解。fuluB.m10牛顿法迭代公式牛顿法的优点牛顿法是目前求解非线性方程(组)的主要方法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。牛顿法的缺点对重根收敛速度较慢（线性收敛）对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。11Matlab解方程函数roots(p)：多项式的所有零点，p是多项式系数向量fzero(f,x0)：求f(x)=0在x

9、0附近的一个根，f是函数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f是符号表达式或符号方程；solve也可解方程组(包含非线性)得不到解析解时，给出数值解linsolve(A,b)：解线性方程组12上机作业与要求分别用普通迭代法、牛顿法，求方程的正的近似根（内容参见教材第92-94页）上机作业上机要求将所编写的程序分别命名为hw311.m,hw312.m13