求方程根的近似方法

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1、f(x)=0的根(或f(x)的零点)，当f(x)复杂时，很难求（需要找到有效简单的近似方法去求）。第二章求方程根的近似方法§2.1二分法理论:f(x)∈C[a,b],单调,f(a)f(b)<0f(x)=0在(a,b)中有惟一根。abx1x2ab何时停下来?或不能保证x的精度x*2xx*解：f(1)=-5<0有根区间中点xnf(2)=14>0-(1,2)+x1=1.5f(1.5)>0(1,1.5)x2=1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)x3=1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)x4=1.

2、313f(1.313)<0(1.313,1.375)x5=1.344f(1.344)<0(1.344,1.375)x6=1.360f(1.360)<0(1.360,1.375)x7=1.368f(1.368)>0(1.360,1.368)x8=1.364例2.1.1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过，则（事后估计）误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：缺点：收敛速度慢，不易求偶数重根.如图注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。

3、或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。yx优点：条件和方法简单(只要求f(x)连续即可)，方法收敛；一.迭代法的建立与收敛性所以,为f的根的充要条件是为的不动点。§2.2迭代法前者收敛：1.5;1.35721;1.33086;1.32588;1.32494;1.32476;1.32473;1.32472;1.32472;…后者发散:1.5;2.375;12.39;…问题：何时收敛？x

4、yy=xxyy=xxyy=xxyy=xy=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p12.收敛定理定理2.2.1注1：L越小，收敛越快。由定理结论(3)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足够小，就可使近似值达到任意的精度。在实际计算中，一般用来控制迭代过程结束。注2：定理条件非必要条件，可将[a,b]缩小，定义局部收敛性：定义2.2.1若存在的某邻域B={x

5、

6、x

7、},使由x0B开始的迭代都收敛,则称迭代法具有

8、局部收敛性。定理2.2.2设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数，且

9、'()

10、<1，则迭代法xn+1=(xn)具有局部收敛性。证明省略。3．编程停机判断时，由（2.2.2）式知比较小，此时停机，（取定初值x0）计算，当由二.迭代法的收敛阶(收敛速度)则称xnp阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1时叫线性收敛,此时要求00,使定义2.2.2:设定理2.2.3设(x)在的某邻域内有充分多阶连续导数，则迭代法xn+1=(xn)为p

11、阶收敛的充要条件是()=()==(p-1)()=0，(p)()0.证明利用Taylor展开式（略）§2.3牛顿（Newton）法——Taylor展开线性化近似于将f(x)在xn点Taylor展开解出记为，则一.Newton迭代法1.迭代公式的建立：2.Newton迭代法的几何意义与求交点，解出,则的切线过3.Newton迭代法的收敛定理（定理2.3.1）（1）连续，且分别不变号；则Newton迭代法（2.1）产生的数列收敛到根。在[a,b]上有根,且在[a,b]上满足设,使（2）取初值解：

12、设取，则由（2.1）例2.3.1用Newton迭代法求4.Newton迭代法的收敛阶(收敛速度)（定理2.3.2）在[a,b]有单根，且在[a,b]上有设直到二阶的连续导数。本章基本要求：1.熟悉区间二分法；2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；3.熟悉Newton迭代法及其几何意义;4.熟悉收敛阶的定义；5.熟悉Newton迭代法的收敛阶;