第七讲 MATLAB中求方程的近似根(解).doc

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1、第七讲　MATLAB中求方程的近似根(解)教学目的：学习matlab中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令．教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧．教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解．一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微

2、分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解．通过本实验，达到下面目的：1.了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2.求代数方程（组）的解．首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法：1．对分法对分法思想

3、：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3)若(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道

4、，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．2.迭代法a)松弛法：由方程构造一个等价方程．则迭代方程是：，，其中．松弛法的加速效果是明显的(见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b)Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的Altken公式：；；，这就是Altken公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3.牛顿(Newton)法（牛顿切线法）是非线性方程其迭代公式

5、为：即为牛顿法公式.牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．以下是本实验中的几个具体的实验具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．程序如下：function[y,p]=erfen()clc,x=[];a=[];b=[];a(1)=1;b(1)=2;i=1;x(i)=(a(i)+b(i))/2;e=abs(f(x(i)));ezplot('x^3-3*x+1',[a(1),b(1)]);holdon,plot([a(i),b(i

6、)],[0,0])whilee>10^(-5)plot([a(i),a(i)],[0,100],[x(i)x(i)],[0100],[b(i)b(i)],[0100]),pause(0.5)iff(a(i))*f(x(i))<0a(i+1)=a(i);b(i+1)=x(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2;elsea(i+1)=x(i);b(i+1)=b(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2;ende=abs(f(x(i)));i=i+1;endy=x(i);p=[a;x;b]'functionu=f(x)u=x^3-3*x+1;

7、endend图形如下:结果为：1.5321具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在0.5附近的根，精确到第4位小数．构造等价方程：用迭代公式：，具体实验3：迭代法的加速1——松弛迭代法，，迭代公式为clc;x=[];w=[];x(1)=1;w(1)=1/(1-x(1));fori=1:10w(i)=1/(1-x(i));x(i+1)=(1-w(i))*x(i)+w(i)*(x(i)^3+1)/3;endx另外有程序可以参考，详见参见附录4．具体实验4：迭代法的加速2——Altken迭代法迭代公式为：，，%（符号计算）symsxfxgx;gx=(x^3+1)/