求方程的近似解(I)

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1、3.1.2求方程的近似解我们学过用公式求一元二次方程的解，但是对于方程，我们就没有公式可以解决了。联系我们上节课学过的函数零点和对应方程根的关系，我们能否利用函数的办法来解决。对于函数的研究，我们一般是先画出函数的图形得出大概的性质，再加以证明，那么我们先来看一下对应函数的图象！函数在[2，3]上有f（2）=－1.30685，f（3）=1.09861，可知f（2）·f（3）<0,所以我们知道函数的零点在[2，3]上。此时若能缩小区间即可确定根的范围那么可以考虑取（2，3）的中点2.5，可以算出f（2.5）

2、=－0.08371，这时f（2.5）·f（3）<0，所以函数的零点一定在（2.5，3）上，3f（2）=－1.30685，f（2.5）=－0.08371f（3）=1.09861此时再重复上一步，取（2.5，3）的中点2.75，可知f（2.75）=0.511601，f（2.5）·f(2.75)<0,那么说明零点在（2.5，2.75）上f（2.5）=－0.08371f（2.75）=0.511601f（3）=1.09861再计算（2.5，2.75）的中点2.625的值可知f（2.625）=0.21508，故f（2

3、.5）·f（2.625）<0,那么零点是在（2.5，2.625）上的f（2.5）=－0.08371f（2.625）=0.21508f（2.75）=0.511601我们看到（2.5，2.625）（2.5，2.75）（2.5，3）（2，3），区间在不断的缩小,也就是说零点所在的范围也是越来越小。那么我们考虑,像这样下去让区间最后缩小到一个很小的范围,那么我们就可以一定的精确度的条件下得出一个近似的函数的零点。比如当精确度为0.01时,由于︱2.5390625－2.53125︱=0.0078125<0.01所以

4、,可以把这个区间上任意一点都看成是函数零点的近似值。f（2.5390625）=0.00991992f（2.53125）=－0.00878675我们通过计算机可以算出这个方程比较精确的值x=2.5349191320239672，此时f（x）=，这时我们看到f（x）已经很接近0了。只要我们不停的分割区间就可以得到一个任意接近真实解的x，但是由于在实际中常常有一定的精确度要求，所以运算到规定的精度就可以停止了。（1）求方程的根。(精确到0.1)解：先画出图象，判断根大概的范围。我们可以看到f（1）·f（2）<0

5、，所以可以知道函数的零点在区间（1，2）上取（1，2）的中点=1.5，f（1.5）≈0.33，f（1）·f（1.5）<0,所以∈（1，1.5）再取（1，1.5）的中点=1.25，f（1.25）≈－0.87，f（1.25）·f（1.5）<0,所以∈（1.25，1.5）同理，可得∈（1.375，1.5），∈（1.375，1.4375）由于

6、1.375，1.4375

7、=0.0625<0.1。此时区间（1.375，1.4375）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程精确到0.1的近似值为1.4通过计

8、算机可以比较精确的算出方程的解为=1.43318968585401，此时f（）=5.77156×二分法本节的学习目的是要通过数值解法，求已知方程根的近似值。设函数在上连续，且,根据数学中的零点定理，方程在[a,b]中必有一根。怎样求这个根呢？我们取区间[a,b]的中点x0，把[a,b]分成两个小区间，如果f(x0)=0，则x0是方程的根否则，小区间中必有一个两端点的函数值异号，方程的根就在这个小区间中。再取中点，二分下去，直到小区间的长度小于精度要求时，小区间的中点就是方程根的近似值。这种解法称为二分法。

9、二分法的算法步骤为：①准备：计算②二分：计算③判断：④否则，转向步骤②，继续。求方程x=3－lgx在区间（2，3）内近似解。（精确到0.01）解：先画出函数x+lgx－3的图形,可以看到函数的零点在（2，3）上，f（2）≈－0.69<0,f(3)≈0.47计算f（2.5）≈－0.10，那么f（2.5）·f（3）<0,