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《数学实验报告 求代数方程的近似根》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学实验报告实验序号:03日期:2013年12月5日班级应数二班姓名黄怡丹学号1101114037实验名称求代数方程的近似根问题背景描述:求代数方程的根是最常见的数学问题之一,当是一次多项式时,称为线性方程,否则称之为非线性方程.当是非线性方程时,由于的多样性,尚无一般的解析解法可使用,但如果对任意的精度要求,能求出方程的近似根,则可以认为求根的计算问题已经解决,至少能满足实际要求.本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法,要求在使用这些方法前先确定求根区间[a,b],或给出某根的近似值.实验目的:1.了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程.2.求代数方程(组
2、)的.。实验原理与数学模型:1.对分法基本思想:将有根区间进行对分,判断出解在某个分段内,然后再对该段对分,依次类推,直到满足给定的精度为止.适用范围求有根区间内的单根或奇重实根.数学原理:介值定理设在上连续,,即,或,.则根据连续函数的介值定理,在内至少存在一点,使.具体步骤:(1)令,计算;(2)若,则是的根,停止计算,输出结果.若,则令,,若,则令,;.……,有、以及相应的.(3)若(为预先给定的精度要求),退出计算,输出结果;反之,返回(1),重复(1),(2),(3).以上方法可得到每次缩小一半的区间序列,在中含有方程的根.当区间长很小时,取其中点为根的近似值,显然
3、有以上公式可用于估计对分次数.2.迭代法基本思想:构造的一个等价方程从某个近似根出发,计算,可得一个迭代序列,这种方法称为迭代法.若收敛,即,假设连续,有即可知,的极限是的根,也就是的根.当然,若发散,迭代法就失败.迭代过程收敛的常用判别标准:当根区间较小,且对某一,明显小于1时,则迭代收敛迭代法的加速:(1)松弛法:若与同是的近似值,则是两个近似值的加权平均,其中称为权重,现通过确定看能否得到加速.迭代方程是:其中,令,试确定:当时,有,即当,时,可望获得较好的加速效果,于是有松弛法:,(2)Altken方法:,是它的根,是其近似根.设,,因为,用差商近似代替,有,解出,得
4、由此得出公式;;,这就是Altken公式。3.牛顿(Newton)法(牛顿切线法)基本思想:是非线性方程,一般较难解决,多采用线性化方法.记:是一次多项式,用作为的近似方程.的解为记为,一般地,记即为牛顿法公式。实验所用的软件及版本:MatlabR2012b主要内容(要点):4.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线等5种方法,求方程的正的近似根,.(建议取.时间许可的情况下,可进一步考虑的情况.)实验过程记录(含:基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等):第三题1.对分法symsxfx;a=0;b=2;fx=0.5*x-sin(x);x=(a+
5、b)/2;i=0;ffx=subs(fx,'x',x);ifffx==0;disp(['therootis:',num2str(x)])%第一次therootis:少加单引号第二次改的时候只把therootis了单引号,把:放在了单引号外面elsedisp('iaibif(xi)')whileabs(ffx)>0.0001&a
6、lsea=x;endi=i+1;x=(a+b)/2;end%少写了enddisp([num2str(i),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)])endfprintf('所求的解是:x=%f,迭代步数是:%d/n',x,i)%在所求的解是:x=%f,迭代步数是:%d/n少加单引号异常记录>>ti1Error:File:ti1.mLine:7Column:23Expressionorstatementisincorrect--possiblyunbalanced(,{,or[.>>ti1Error:File:ti1.mLine:
7、7Column:25Expressionorstatementisincorrect--possiblyunbalanced(,{,or[.>>ti1Error:File:ti1.mLine:21Column:9TheinputcharacterisnotvalidinMATLABstatementsorexpressions.>>ti1Error:File:ti1.mLine:6Column:1AtleastoneENDismissing:thestatementmaybeginhere.正确结果>>
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