数学实验报告 求代数方程的近似根

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1、数学实验报告实验序号：03日期：2013年12月5日班级应数二班姓名黄怡丹学号1101114037实验名称求代数方程的近似根问题背景描述：求代数方程的根是最常见的数学问题之一，当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间[a,b]，或给出某根的近似值．实验目的：1.了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程.2.求代数方程（组

2、）的.。实验原理与数学模型：1.对分法基本思想：将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止．适用范围求有根区间内的单根或奇重实根．数学原理：介值定理设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．具体步骤：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3)若(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然

3、有以上公式可用于估计对分次数．2.迭代法基本思想：构造的一个等价方程从某个近似根出发，计算，可得一个迭代序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，假设连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．迭代过程收敛的常用判别标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛迭代法的加速：（1）松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，（2）Altken方法：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得

4、由此得出公式；；，这就是Altken公式。3.牛顿(Newton)法（牛顿切线法）基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式。实验所用的软件及版本：MatlabR2012b主要内容（要点）：4.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的情况下，可进一步考虑的情况．)实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：第三题1.对分法symsxfx;a=0;b=2;fx=0.5*x-sin(x);x=(a+

5、b)/2;i=0;ffx=subs(fx,'x',x);ifffx==0;disp(['therootis:',num2str(x)])%第一次therootis：少加单引号第二次改的时候只把therootis了单引号，把：放在了单引号外面elsedisp('iaibif(xi)')whileabs(ffx)>0.0001&a

6、lsea=x;endi=i+1;x=(a+b)/2;end%少写了enddisp([num2str(i),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)])endfprintf('所求的解是：x=%f,迭代步数是：%d/n',x,i)%在所求的解是：x=%f,迭代步数是：%d/n少加单引号异常记录>>ti1Error:File:ti1.mLine:7Column:23Expressionorstatementisincorrect--possiblyunbalanced(,{,or[.>>ti1Error:File:ti1.mLine:

7、7Column:25Expressionorstatementisincorrect--possiblyunbalanced(,{,or[.>>ti1Error:File:ti1.mLine:21Column:9TheinputcharacterisnotvalidinMATLABstatementsorexpressions.>>ti1Error:File:ti1.mLine:6Column:1AtleastoneENDismissing:thestatementmaybeginhere.正确结果>>