一元二次不等式的解法及其应用.ppt

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1、一元二次不等式的解法及其应用一、一元二次不等式解法利用函数把方程与不等式联系起来，这样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论方程的解，根据方程的解进一步来解一元二次不等式。二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：(1).图象与x轴交点的坐标为,该坐标与方程x2-x-6=0的解有什么关系：。(2).当x取时，y=0？当x取时，y>0？当x取时，y<0?(3).由图象写出：不等式x2-x-6>0的解集为。不等式x2-x-6<0的解集为。(-2,0)，(3,0)交点的横坐标即为方程的根x=-2或3x<-2或x>3-2

2、3﹛x

3、x<-2或x>3﹜﹛x

4、-20y>0y<0一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集有两个不等实根x1≠x2有两个相等实根根x=x2=-b/2a无实根﹛x

5、xx2﹜{x

6、x≠-b/2a}R{x

7、x10方程x2－2x－15＝0的两根为:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式

8、的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。。。解一元二次不等式的方法步骤是：（3）根据图象写出解集步骤：（1）化成标准形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，画图象；一般地，当二次不等式所对应的方程有两个不等的实根时，不等式的解集的规律为：a、y同号，解在两边；a、y异号，解在中间。方法：数形结合2.解不等式-x2+2x-3>0练习1.解不等式4x2-4x+1>03.解不等式2x2-3x-2>04.解不等式-5x2+6x>1练习1.解不等式4x2-4x+1>0解：∵△=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/21/2X练习2.解不等式-x2+

9、2x-3>0解：整理得x2-2x+3<0∵△>0，方程x2-2x+3=0无实解，X∴不等式的解集是{x∈R

10、x≠1/2}∴原不等式的解集是空集。练习3.解不等式2x2-3x-2>0解：∵△>0，方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2-1/22X练习4.解不等式-5x2+6x>1解：整理得，5x2-6x+1<0∵△>0，方程5x2-6x+1=0的解是x1=1/5,x2=11/51X∴不等式的解集是{x

11、x<-1/2,或x>2}∴原不等式的解集是{x

12、1/5

13、知解为t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集为{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。例2：解不等式分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不等式中含│x│，由于│x│2=x2，则可以通过换元令│x│=t，将不等式转化为t2－2t－15≥0求解。x2－2x－15≥0x2－2│x│－15≥0解法2：当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0则不等式的解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}当x≤0时，原不等式可化为x2＋2x－15≥0则不等式的解为x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集为{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解为{x

14、│x≥5或x≤－5}。分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。例2：解不等式:x2－2│x│－15≥0例3.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.解：由条件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又解在两根之间;分析:二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1则a－b＝－2由此可以理解为ax2＋bx+6＝0的根为－2，3。例3.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.4a－2b+6＝09a＋3b+6＝

15、0另解：由条件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2、3，代入方程可得：则a－b＝－2a＝－1b＝1解方程组得：例4、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求实数a取值范围。解：A∩B=A，则AB∩若a＞1，则A＝｛x│1≤x≤a｝，若a＜1，则A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范围是1≤a≤3X31aABBAaX13则1＜a≤3那么,A不可能是B的子集；分析:观察不难发现：a、1是x2－(a+1)x+a=0的