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时间:2020-03-21
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1、2014年第4期中学数学教学5l垂足三角形序列的若干结论华南师范大学数学科学学院林才雄崔伟放金佳琳(邮编:510631)摘要运用递推法对若干垂足三角形序列进行研究,得出的主要结果及结论:(1)保证i阶垂足三角形△ABC,i一1,2,⋯,(EN)均为锐角三角形时的原AABC满足的若干充分条件;(2)保证i阶垂足三角形△ABC,i一1,2,⋯,(EN)均为钝角三角形时的原AABC满足的若干充分条件;(3)保证只有i阶垂足三角形△ABC,—l,2,⋯,(EN)时的原AABC满足的若干充分条件.关键词垂足三角形;递
2、推;充分条件1预备知识为△ABC的垂足三角形△A1BC的内角.1.1定y,E川:(垂足三角形)引理2(1)若/kABC为锐角三角形且其i如图1,记△ABC的垂足三角形为阶垂足三角形△ABC均为锐角三角形,其中△A抖lB抖lC抖l,是EN,其中A抖1为A在边i一1,2,⋯,,2(EN),则A一(A一)·BC上的射影点,B抖为在边AC上的射影点,为在边AB上的射影点.令(一2)+要,i一1,2,3,⋯,n(n∈N).△_AoB0Co一△ABC,称△A&BC为△ABC的k(2)若AABC中C为钝角且其i阶垂足三角
3、阶垂足三角形.形△ABC。中C也为钝角,其中i一1,2,⋯,(EN),则Ci=:=(C一丌)·2+7r,i=:=1,2,3,⋯,(EN).证明:(1)‘.‘△C为锐角三角形且其i阶垂足△ABC也为锐角三角形,其中i一1,2,⋯,(EN),···A斗一号一一2(A一号),一图11.2引理0,1,2,⋯,.其中记A。一A.引理1E(1)若AABC为锐角三角形,则又。.。A汁一旦3一一2(A一号),A1=丌一2A,B1一丌一2B,C1—7r一2C,其中A1、·B、C1为△C的垂足三角形△ABCl的..{Ai-号)
4、为以A0一号为首项,一2为公内角;比的等比数列,(2)若△ABC为直角三角形,则△ABC无垂足三角形;...A一号0一(\A。一号o),·(一2),i一0,1,2,⋯,,则(3)AABC为钝角三角形且C>罢,则c一2C一,B1—2B,A1—2A,其中A1、Bl、ClA一(A。一号)·(一2)+詈一(A一号)·52中学数学教学2014年第4期(一2)t+要,i一0,1,2,⋯,n(n∈N).言。2一,其中i为偶数,且≤见(2)‘.’△ABC中C为钝角且其i阶垂足三即证:4[≥4ii且4[号≥4专,为偶数,且角
5、形△AC中C也为钝角,其中一1,2,⋯,≤,显然上式也成立;(∈N),故由引理2,可得‘..1—2G一丌,i一0,1,2,⋯,,其中记[号一g()]·2+号6、N).9vf2垂足三角形序列的若干结论_KA,Ci∈(0,号),i一1,2,⋯,.定理1若△ABC,A≤B≤C满足条件:又’.‘当i为偶数时,∈[A,G];当i为号(1—4一)7、挈一A,A≤B<{且满下证:①若i为奇数,且i≤时,足条件:有[号一g()]·2+号≥0,且要n(1—4一)8、有l()一号]·2+号≥0且罢(1—4_[卫])
6、N).9vf2垂足三角形序列的若干结论_KA,Ci∈(0,号),i一1,2,⋯,.定理1若△ABC,A≤B≤C满足条件:又’.‘当i为偶数时,∈[A,G];当i为号(1—4一)7、挈一A,A≤B<{且满下证:①若i为奇数,且i≤时,足条件:有[号一g()]·2+号≥0,且要n(1—4一)8、有l()一号]·2+号≥0且罢(1—4_[卫])
7、挈一A,A≤B<{且满下证:①若i为奇数,且i≤时,足条件:有[号一g()]·2+号≥0,且要n(1—4一)8、有l()一号]·2+号≥0且罢(1—4_[卫])
8、有l()一号]·2+号≥0且罢(1—4_[卫])
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