垂足曲线与反垂足曲线-论文.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)Vo1．34第1期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．1，2014垂足曲线与反垂足曲线吴利斌，詹鸿(武汉软件工程职业学院公共课部，湖北武汉403205)摘要：利用平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线的概念，给出平面上几种特殊曲线的垂足曲线与反垂足曲线的例子，并将这两个概念推广到三维欧氏空间中去．关键词：垂足曲线；反垂足曲线；三维欧氏空间·中图分类号：0186．1文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014)0l-O115-04doi：10．3969

2、／j．issn．1OO9—2714．2014．01．0251平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线定义1平面上一定点对曲线c上各点的切线作垂线的垂足所形成的曲线C。称为曲线c对点尸0的垂足曲线，而曲线C称为曲线C。的反垂足曲线．文献[1]中给出了以下两个定理：’定理1在平面直角坐标系下，若已知点为P。(。，Yo)，曲线c的方程为7={(￡)，Y(￡)}，则曲线C对点P。的垂足曲线C+的方程为f·(f)(27027t(￡)+YoY(z))+)，(￡)(())，(t)-(￡))，(￡))]，，、{【y1土·[一(￡)(27(￡))，(￡)一(￡))，(￡))+

3、y()(X027t(￡)+YoY(t))]定理2在平面极坐标系下，若垂足曲线C。的方程为P=p()，则反垂足曲线C的方程为『=pcos0一Psin0，¨【Y=psinO+pcos0‘、由定理．1易得下面几个推论：’．’推论l在平面直角坐标系下，若已知点为坐标原点0(0，0)，曲线c的方程为7={27(t)，Y(t)}，则曲线c对原点O的垂足曲线c。的方程为f·iY(t)((t)(t)一(￡)y(f))]’，、【)，·7[()((￡)y(t)一戈(t))，(t))]．推论2在平面直角坐标系下，若已知点为P。(270~Y。)，曲线C的方程为7={(s)

4、，Y(s)}，则曲线C对点P0的垂足曲线C．的方程为：f．=(s)(270(s)+(s))+(s)((s)(s)一27‘(s))，(s))’，、【Y+=一(s)((s)夕(s)x(s))，(s))+(s)(270(s)+)，。(s))收稿日期：2O13—o6—15作者简介：吴利斌(1966一)，女，湖北天门人，副教授·115·其中s为曲线c的自然参数．推论3在平面直角坐标系下，若已知点为原点o(o，0)，曲线C的方程为7={(s)，Y(s)}，则曲线C对原点0的垂足曲线C．的方程为f。=夕(s)((s)(s)一x(s)y(s))(5)【Y。=一(s

5、)(()(s)一k(s)y(s))其中s为曲线C的自然参数．2几种特殊平面曲线的垂足曲线f【·=口+c。s)c。s(6)Y。=口(1+cos0)sin0·例2抛物线=2(或，r=予)对原点o(o，o)(即抛物线的顶点)的垂足曲线为蔓叶线可。(7)1P例3等边双曲线一y2=02(或=士，Y=±_=)对原点o(o，0)(即双曲线的中心)的·V‘一1V‘一1鸳l_-I’．．㈣一a~~f“3空间曲线的垂足曲线与反垂足曲线平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线的概念可以很自然地推广到三维欧氏空间中去，即定义2在空间曲线c的切线所组成的曲面上，与一定点P。的连线均与曲

6、线c的切线垂直相交的动点轨迹c。称为曲线c对点尸0的垂足曲线，而曲线c称为曲线C。的一条反垂足曲线．注2也可以类似定义1来定义空间曲线的垂足曲线与反垂足曲线．定理3在空间直角坐标系下，若已知点为P0(，Yo，Z0)，空间曲线C的方程为r={(t)，Y(t)，(z)}，则曲线c对点的垂足曲线c。的方程为+．(9)Pr。：[(YoY+0)+xy一x'y)+(愆一z)]／(+，，以+)或?Y。=[(一ytx)+，，(+YoY+ZoZ)+(一y'z)]／(x，2+y以+n)(1o)【。：[(一z)+)，(zy一z'y)+(0+)，0Y十名0)]／(，2+y

7、+z)．116．其中P=7={(t)，Y(￡)，(￡)}，P．={．(￡)，Y．(￡)，．(t)}．证明设P=7={x(t)，Y(￡)，z(t)}为空间曲线c上任一点，则曲线C在点P的切线的方程为P：P+AP(11)且过点与切线垂直相交的直线Ⅳ的方程为+gv。(12)其中·P=0(13)由(11)得。．A：(14)P‘由(12)和(13)得·P·P=P0·P(15)将(14)和(15)代入(11)得切线与直线Ⅳ的交点的径矢，即得曲线c对点P0的垂足曲线C。的方程为。：芦+(16)．P‘将o={。，Yo，20}，芦={(t)，y(f)，(t)}，={

8、(￡)，)，(￡)，(￡)}和={(￡)，Y。(‘)，z。(t)}代入(9)，即得曲线c对点P。的垂足曲线c+的方程为’r