数学中考复习专题----三垂足一线

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1、初中几何研究的是平面图形的性质，而这些千变万化的图形都是由基本图形组合而成，因而对这些基本图形的提炼与研究显得尤为重要．在平面几何解题中，同学们要掌握“提炼基本图形”的能力，这样就能快速地获取题目中的信息，有利于把不同背景下的问题化归到同一模式上，提高解题效率．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C有一直线l(不与AC、BC重合)，过点A、B分别作AE⊥直线l、BF⊥直线l，求证：△ACE∽△CBF思考图2图13“三垂足一线”基本模型AE⊥EF，BF⊥EF，AC⊥BC，且C在直线EF上，△ACE∽△CBFAE/

2、CF=CE/BF当AC=BC时，这个基本图形中上述结论还成立吗？又有新的结论吗？条件：结论：图形特征：三个垂足在一条直线上△ACE≌△CBFAE=CF,CE=BF（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）A.90B.100C.

3、110D.121图１图２（2013•南三县模拟考）如图．已知扇形AOB，∠AOB=90°，C是圆上一点，连结AC、BC，D、E分别为AC、BC的中点，若AO=5，AD=3，则△DOE的面积是（　　）A.5B.7C.D.例1如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，沿AE对折△ADE，使点D落在BC上的点F处，BF=3，FC=2，求CE的长．423例2如图．四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．求证：DE=BF+EF．xyDC例3如图.已知方程ax2+bx+c=0的两个根分别是

4、﹣1和3，抛物线y=ax2+bx+c经过点N(2,–3)．(1)求抛物线的解析式(2)此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别记为A和B，顶点为P，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求Q点的坐标．例4如图．四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线．将直角尺的直角顶点P在边BC上移动(与点B、C不重合)，且与一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，猜想PA与PQ之间的关系：；并证明猜想的结论．PA=PQ变式拓展．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=9

5、00，点P在BC边上，当∠APD=900时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP·PC=AB·CD.解答下列问题：探究：在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP·PC=AB·CD.“三垂足一线”基本模型特征－－三个垂足在一条直线上结论－－△ACE∽△CBFAE·BF=CE·CF注意：“三垂足一线”数学模型只是提供解题思路，本结论不能直接拿来用于证明其他结论．例5如图，将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，在OA、OC

6、边上选取适当的点E、F，连结EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处．当点F与点C重合时，求OE的长度．810例6如图，平面直角坐标系中有一张纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B、C不重合)．将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．设E(10，b)，求b的最小值．例7如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，O

7、C=2．动点D在线段BC上移动(不与B、C重合)，连结OD，作DE⊥OD交边AB于点E，连结OE．设CD的长为t．当t=1时，求点E的坐标；(2)设梯形COEB的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)是否存在t的值，使得OE的长取得最小值？若存在，求出此时t的值并求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．例8如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP=3时点

8、E的位置；(2)若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．