《非线性方程求解》PPT课件.ppt

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1、第二章非线性方程求解第二章非线性方程求解目录§1对分法§2迭代法2.1迭代法的基本思想2.2迭代法的收敛条件2.3Steffensen方法——简单迭代法的加速§3Newton法与弦截法3.1Newton法3.2弦截法第二章非线性方程求解概述很多科学计算问题常常归结为求解方程：例如，从曲线y=x和y=lgx的简单草图可看出方程lgx+x=0有唯一的正根x*，但是没有求x*的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2+bx+c=0，我们可以用熟悉的求根公式：对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，

2、但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（2-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。求方程根的近似解，一般有下列几个问题：3.根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。设函数f(x)在区间[a,b]上连续，严格单调，且f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。

3、1.根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？2.根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论：求根的隔离区间的两种方法1.描图法：画出y=f(x)的草图，由f(x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系来确定根的大概位置。例1求f(x)=3x1cosx=0的有根区间解：将方程变形为3x1=cos

4、x绘出曲线y=3x1及y=cosx，由图8-1可知，方程只有一个实根：yxx*图8-1例2紧接下屏2.逐步搜索法：从区间[a,b]的左端点a出发，按选定的步长h一步步向右搜索，若:则区间[a+jh,a+(j+1)h]内必有根。搜索过程也可以从b开始，这时应取步长h<0。求出根的隔离区间后，就可采用适当的方法，使其进一步精确化。解：令f(x)=4x312x2=0，可得驻点x1=0,x2=3,由此而得到三个区间(,0)(0,3),(3,),f(x)在此三个区间上的正负号分别为“”，“”，“+”，由此可见，函数f(x)在

5、此三个区间上为“减”，“减”，“增”，并且因为f()>0,f(0)=1>0,f(3)=26<0,f()>0所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,)内。又因f(4)=1>0,所以，二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。§1对分法设f(x)在区间[a,b]上连续，严格单调，且f(a)f(b)<0，不妨设f(a)<0,f(b)>0，则方程f(x)=0在[a,b]内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数f(x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。

6、具体步骤为:若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当n→∞时，区间将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求方程的根。对分法的误差估计作为x*的近似值，则误差为：只要n足够大（即区间对分次数足够多），xn的误差就可足够小，且只要f(x)连续，对分区间总是收敛的。式（8-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以给定的误差限估计出对分区间的次数，因为由式（2-2）有：若取区间[an,bn]的中点：例3解：因为f(x)连续且f(x)=3x2+10>0(x(,))，故f(x)在(,)上单调增加

7、而f(1)=9<0,f(2)=8>0所以原方程在（1，2）内有唯一实根。Nanbnxnf(xn)0121.5-1.62511.521.752.85937521.51.751.6250.5410156331.51.6251.5625-0.5603027341.56251.6251.59375-0.0143127451.593751.6251.6093750.2621727061.593751.60937501.60156250.1236367271.593751.60156251.59765620.0545888581.593751.

8、59765621.59570310.0201197991.593751.59570311.59472660.00289896101.593751.59472661.5942383-0.00570803111.594238