资源描述：
《《非线性方程求根》PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章非线性方程求根1二分法2简单迭代法3牛顿迭代法4迭代法的收敛阶与加速收敛方法11.二分法1.1问题的提出1.2有关概念1.3二分法原理1.4程序框图1.5收敛性分析1.6二分法的优缺点1.7例题求解1.8二分法与跨步区间法求方程的全部实根21.1问题的提出：函数方程若不是x的线性函数,则称(1)为非线性方程,特别若是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程；若是超越函数，则称(1)为超越方程。理论上已证明，对于次数n<=5的多项式方程，它的根可以用公式表示，而次数大于5的多项式方程，它的根一般不能用解析表达式表示。3因
2、此对于的函数方程，一般来说，不存在根的解析表达式，而实际应用中，也不一定必需得到求根的解析表达式，只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。求根方法中最直观最简单的方法是二分法。4求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。根的存在定理假设函数,且,函数图象如图1所示，则至少存在一点使得,这就是根的存在定理。1.2有关概念二分法就是将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。5yxba图一函数方程的解通常称为方程的根或函数的零点，特别地，如果函数可分
3、解为且,则称是的重零点或的重根。当时，称是的单根或单零点。671.3二分法原理给定方程,设在区间连续,且,则方程在内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程在内只有一实根，采取使有根区间逐步缩小,从而得到满足精度要求的实根的近似值。8取区间二等分的中点，若,则是的实根；若成立,则必在区间内,取;否则必在区间内,取,这样,得到新区间，其长度为的一半,如此继续下去,进行次等分后,得到一组不断缩小的区间。其中每一个区间都是前一个区间长度的一半,从而的长度为9如此继续下去，则有这些区间将收敛于一点，该点即为所求的根。当做到第步时，有为给定精度此
4、时即为所求方程的近似解.以上方法就是用于求非线性方程实根近似值的二分法。用二分法求方程在区间内近似根的程序框图如图2，表示各有根区间的左右两端点;为二分次数,为允许误差;当时,终止运算10图21.4程序框图11现在来研究用二分法求函数的根时的精确性。假定是连续函数，并且它在区间的两端点所取的值有相反的符号，于是在中有一个根，如果用中点作为对的估计，则有。现在应用二分算法，经过n步后将算出一个近似根其误差至多为其中1.5收敛性分析12二分法计算过程简单，程序容易实现。可在大范围内求根，但该方法收敛较慢，且不能求偶数重根和复根，一般用于
5、求根的初始近似值，而后在使用其它的求根方法。二分法收敛速度不快，其收敛速度仅与一个以1/2为比值的等比级数相同。1.6二分法的优缺点131.7例题求解例1：用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为。解：令因为得得…….14例2，求方程f(x)=x3–e-x=0的一个实根。因为f(0)<0,f(1)>0。故f(x)在(0,1)内有根用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：kabkxkf(xk)符号0010.5000－10.5000－0.7500－20.7500－0.8750＋3－0.87500.8125＋4－0.8125
6、0.7812＋5－0.78120.7656－60.7656－0.7734＋7－0.77340.7695－80.7695－0.7714－90.7714－0.7724－100.7724－0.7729＋取x10=0.7729，误差为
7、x*-x10
8、<=1/211。15如果我们把二分法与跨步区间法结合起来,就可以求非线性方程在任一区间上的全部实根。首先,将方程式f(x)=0化为函数式y=f(x).假设方程求解区间为x[a,b],跨步区间为h长,允许误差为。如图3所示,由a点出发向b点跨步,每跨一步h,经过判断在该区间内是否有根。如有根则
9、进行二分法求根计算,否则继续以h为步长向前跨步找根,直到走出区间[a,b]为止。这样,我们就可以按顺序将方程的全部实根找出。1.8二分法与跨步区间法求方程的全部实根16但应注意在计算中步长h要适当取小一些,若h过长则容易丢根(若在区间范围内有两相邻函数值符号相同而判定无根),若间隔h值太小,则影响计算速度。yxabo图317二、简单迭代法--------(2)将非线性方程继续--------(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法--------(1)化为一个同解方程18则称迭代法(3)收敛,否则称为发散。--------
10、(4)如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛19例3.解:(1)将原方程化为等价方程发散20显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程21仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0
