实验5非线性方程求根及其MATLAB实现ppt课件.ppt

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1、分类数学实验之方程求近似实根问题、高射炮的控制区域问题对应书本的第二章数值计算问题的2.1及2.4考虑方程f(x)=0⑴求根分为两步：（１）先确定某个根的近似值；（２）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。１.两分法迭代（理论基础：零点定理）设f(x)∈C[a,b]，f(a)·f(b)<0。区间(a,b)就是方程⑴根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。方程求根数值算法的基本思想取[a,b]的中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，则x0即是根；否则，f(a)·f(x0)<0，令a1=a，b1=x0(取[a,b]的左半部)；f(x0)·f(b)<0，令a1=x0，b1

2、=b(取[a,b]的右半部)。abf(a)f((a+b)/2)f(b)f(x)xy将上述做法重复n次，得到n个小区间，且bn-an=(b-a)/2n，[a,b]经过一次这样对原区间[a,b]的处理，得到了一个新的有根区间[a1,b1]，且b1-a1=(b-a)/2，[a,b][a1,b1]。１.两分法迭代当n足够大时即可达到满意的精度σ。[a1,b1]…[an,bn]。需要的迭代次数为：例1求方程x3+1.1x2+0.9x–1.4=0的一个实根。使误差不超过10-3１.两分法迭代解：（１）首先观测图形，作f(x)的图像:ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.

3、4')x=-1:0.01:1;y=x.^3+1.1.*x.^2+0.9.*x-1.4;%函数表达式figure;plot(x,y,'LineWidth',2)%画出图形holdon;y1=zeros(size(x));%y1＝0plot(x,y1,'r','LineWidth',4);先绘制其图形观察一下：bisect.m（２）按两分法的思想，进行迭代求根。为了使得程序具有通用性，将方程的表达式写成一个函数：functiony=myequation(x);y=x.^3+1.1.*x.^2+0.9.*x-1.4;这样修改y的表达式，即可求出其他方程的实根。（3）运行二分法的程序

4、：(该程序在matlab中打开)x0=-1;x1=2;%初始值根始终在x0和x1之间i=0;delt=10e-5;%精度N=ceil((log(x1-x0)-log(delt))/log(2));%理论迭代次数whileabs(x1-x0)>delt%达不到我们需要的精度y0=myequation(x0);y1=myequation(x1);%求两个初始点处的y值x2=(x0+x1)./2;%二分y2=myequation(x2);%求在中点处的值ify2==0%恰好是方程的根x0=x2;x1=x2;elseify0*y2<0%方程的根落在x0和x2之间x1=x2;%新的两个

5、端点为：x0=x0;x1=x2。else%方程的根落在y1和y2之间x0=x2;%新的两个端点为：x0=x2;x1=x1。endi=i+1;enddisp(‘方程的根为：x=’);x0disp(‘实际迭代次数为：i=');idisp('理论迭代次数为：N=');Nbisect.m两分法迭代的加速：abf(a)f((a+b)/2)f(b)f(x)xyc以f(a),f(b)的连线在x轴的交点c作为新的出发点。程序：fastbisect.m注：此方法不一定能加速!!!减速举例：abf(a)f(b)f(x)xyc程序：fastbisect.mf((a+b)/2)加速情况举例：２.不动

6、点迭代称满足方程f(x)=x的点x为函数f的不动点.求函数f的不动点。可以从一个初始点x0出发，以格式xn+1=f(xn)进行迭代；x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xk+1=f(xk)，…得到x0,x1,x2,……,xn,…..如果该数列是收敛的，则将方程f(x)=0⑴化为等价方程x=φ(x)（2）取某个定数x0，做数列{xn}，其中，x1=φ(x0)，x2=φ(x1)，…，xk+1=φ(xk)，…（3）设φ(x)连续，且a就是方程f(x)=0的根。a就是函数φ的一个不动点，即a=φ(a)等价于f(a)=0求根原理：y=f(x)x0f(x0)x1=f(x0)f(x1)

7、x2=f(x1)y=xx收敛的迭代：观察动态演示：发散的迭代：观察动态演示：x0由以上图形可以看出，序列的收敛速度，取决于曲线在根附近的斜率所以在根x*附近，’(x)恒小于1，则此迭代序列收敛，若’(x)1,则此序列发散。２.不动点迭代例2求方程在x=3附近的近似实根。解：可将方程写成下三种形式：x=14–x2,functionf=iterfun(x)%f=14-x.^2;%f=14./(x+1);f=x-(x.^2+x-14)./(2*x+1);(1)将三种迭代形式写成函数存起来：(2)