【精品】MATLAB非线性方程(组)求根

《【精品】MATLAB非线性方程(组)求根》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、©讹t工工圭女金实用数值方法(Matlab)综述报告题目：非线性方程(组)求根问题小组成员许多数学和物理问题归结为解函数方程f(x)=Oo方程f(x)=O的解称为方程的根。对于非线性方程，在某个范围内往往不止一个根，而且根的分布情况可能很复杂，面对这种情况,通常先将考察的范围花费为若干个子段，然后判断哪些子段内有根，然后再在有根子段内找出满足精度要求的近似根。为此适当选取有根子段内某一点作为根的初始值近似，然后运用迭代方法使之足部精确化。这就是方程求根的迭代法。下面介绍书上的几种方法：1、二分法(1)方法

2、概要：假定函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)・f(b)=O,则方程f(x)=O在［a,b］内一定有实根。取其中点x0=^+b^2将其二分，判断所求的根在％的左侧还是右侧，得到一个新的有根区间［电力」,长度为［a,b］的一半。对新的有根区间继续实行上述二分手段，直至二分k次后有根区间％%］长度可见，如果二分过程无限继续下去，这些有限根区间最终必收敛于一点xt该点就是所求的根。在实际计算过程中不可能完成这个无限过程，允许有一定的误差，则二分k+1次后只要有根区间的长度小于b，那么结果知关于允许误差E就

3、能“准确”地满足方程f(x)=O。(2)计算框图：J>yyo>O?为此，可以运用校正技术设计从预报值抵生成校正值环杠的迭代公式。自然希望校正值W=抵+血能更好满足所给方程：瘫+诙£«+(iSx}sea这是个关于校iEfilx的近似关系式，如果从屮删去二次项(公尸，即可化归为一次方程从而关于校正值陥丁=抵+血有如下开方公式上述演绎过程表明，开方法的设计思想是逐步线性化，即将二次方程的求解画归为一次方程求解过程的重复。开方公式规定了预报值抵与校正值毎十z之间的一种函数关系盍曲二駅站,这里说0=茅+$为开方法的

4、迭代函数。3、Newton法(1)方法概要考察一般形式的函数方程険=0首先运用校正技术建立迭代公式。设己知它的根近似值咖，则自然要求校正值抵能更好地满足所给方程将其左端用其线性主部+厂©』他替代，而令血订+严闲血=0据此定出从而关于校正值陥工=抵+血有如下计算公式这就是著名的Newton公式。Newton公式决定了预报值猟与校正值Xr中］之间的一种函数关系％=串(抵),数为这里迭代函(2)计算框图（结束）4、弦截法（1）方法概要弦截法主要方法与Ncwtom法基本相同，只是用差商偸饨一抵.』代替Ncwtom

5、公式中的导数，从而得到弦截公式（2）计算框图输入Xo,X],8Fo=F(xo)Fi=F(x))X2=Xi-Fi*(Xi-Xo)/(Fi-Fo)现在介绍一种新的方法一一正割法用矽关于正割法设X阳g仪芒耳是二个接近于X*的已知近似解丽抵T的线性插值函数来近似函数啲，并取1/00=0的根作为Kx>=o的新近似根从适当的丽旳，rh（2）生成迭代序列饨的方法称为正割法。正割法的儿何意义是用曲线y=f（x）的过点（心』也>）金知您*»的割线来近似原曲线，并用割线与X近似曲线与X轴的点卍，如图y所示。例：用正割法求解偸

6、=広一5让=6甌=0%=乙0解将札如豊：严的数值列在表中。可看出正割法有较快的收敛速度。k/(")mo-/(%)/(无-％J00-1110.459699771.459697720.68507-0.0893031.743245630.736298-0.00466171.652246840.7391195.697xl(T§1.67269450.7390849-3.62x10-760.7390851-5.5X10-8对于正割法，有如下收敛定理。定理1若聲摩在解卍邻近二次连续可导，且则存在5>o,只要和也eR-4

7、^十®正割产生的迭代序列｛环｝收敛于疋，而且有证明利用插值多项式余项，有-Lg)=f(x9-LOO="也』其中Hk位T包含核］.xfc,x-的最小区I'可内。另一方面-L間=LCxO-LO^a)=X-陷』=朋-输』其屮氐介于心与间，也位于包含冷-“耳,疋的最小区间内。rhL&9的二个表达式得任取皿厲1)由「00^0及俨连续得，存在5=«(r)>0成立気戲留哂心帼『凶叱r当筍內电［疋一足疋+5］时，贝IJ(4)得外一总

8、：£珞田一孤

9、或声=•“即】恤1^皿1坯=邨。(3)显然成立。证毕。定理1中先假设了㈱=

10、0的疋存在，同时要求初始近似解孔朋】充分接近P,这一类收敛定理称为局部性收敛泄理。叶沖

11、3段

12、静_环严汕吆卩曲)

13、即正割法通常具有收敛阶1.618-0