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1、第六章非线性方程的数值解法6.1引言在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0(6.1)的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点.如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程记笔记为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法①判定根的存在性
2、。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行求方程几何意义基本定理如果函数在上连续，且则至少有一个数使得，若同时的一阶导数在内存在且保持定号，即(或)则这样的在内唯一。abx*6.2二分法二分法的基本思想:据定理6.1，首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根
3、区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根。二分法又称二分区间法，是求解方程(6.1)的近似根的一种常用的简单方法。6.2.1二分法求根过程设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点，这样就可缩小有根区间。注意可能会出现三种情况abx0若前两种情况出现之一，则就意味着找到了一个比原区间长度小一半的隔根区间了。设为.②对压缩了的有根区间施行同样的手法,即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,
4、其长度是的二分之一。当n→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为所求的根。③如此反复下去,若不出现，即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度每次二分后,取有根区间的中点作为根的近似值，得到一个近似根的序列该序列以根x*为极限只要二分足够多次(即k足够大),便有这里ε为给定精度,由于,则在此过程中，可得：当给定精度ε＞0后,要想成立,只要取k满足即可，亦即当:在程序中通常用相邻的与的差的绝对值或与的差的绝对值是否小于ε来决定二分区间的次数。时,做到第n+1次二分,计算
5、得到的就是满足精度要求的近似根。y0xABa1b1a2b2逐步搜索法对于给定的f(x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。例1方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑的方法，不难发现f(0)<0f(2)>0在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为
6、步长向右进行根的搜索,列表如下xf(x)00.51.01.52–––++可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的基础上采用对分法继续缩小该含根子区间二分法可以看作是搜索法的一种改进。二分法算法实现例2证明方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-3的根要二分多少次？证明令则且f(x)在[2,3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内至少有一
7、个根。又当时，故f(x)在[2,3]上是单调递增函数,从而f(x)在[2,3]上有且仅有一根。给定误差限＝0.5×10-3,使用二分法时误差限为只要取k满足即可，亦即所以需二分10次便可达到要求。二分法的优点是不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为的等比级数相同。6.3迭代法对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是
8、一种逐次逼近过程求解非线性方程（或方程组），同样的计算过程往往要多次进行,而每次都要以前一次计算结果代入计算，在迭代计算中，选取迭代初值、迭代格式、判别收敛是迭代法的三个主要部分。6.3.1不动点迭代法为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程(6.3.1)其中为x的连续函数因此，迭代研究的主要内容：迭代初值选取、迭代格式的构造、迭代过程的收敛性。再将代入式的右端,得到,依此类推,得到一个数列…，其一般表示式(6.3.2)称为求解非线
