计算方法2非线性方程求根

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1、第2章非线性方程求根求f(x)=0的根非线性方程求解的基本思想确定非线性方程实根范围的方法图解法：计算机比较难实现，对人使用方便。逐步扫描法：便于计算机实现。2.对方程根进一步精确化的方法二分法，迭代法，Newton迭代法依据：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。此时[a,b]称为有根区间。§2.1二分法原理设[a,b]是方程f(x)=0的一个有根区间，取是[a1,b1]的中点。若f(x1)=0，则x1是f(x)=0的一个根，若f(x1)f(a1)>0，则取a2=x1，b2=b1，否则取a2=a1，b2=x1得到[a2,b2]，满

2、足：以[a2,b2]取代[a1,b1]，继续以上过程，得到[a3,b3]……,直到某一xk时，，使f(xk)=0，则xk是f(x)=0的根，若不存在这样的xk，能得到一系列闭区间：表明存在x*，f(x*)=0，x*[ak,bk]，因此{ak}单调上升，有上界x*，{bk}单调下降，有下界x*，且这二个序列均存在极限：－－定理2-4若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则由二分法产生的序列{xk}收敛于f(x)=0的一个根x*，且abx1x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估

3、计二分法所需的步数k：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。误差分析：例例f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就

4、是f的根。我不相信如此简单，问题究竟是什么？如何保证它的收敛性？§2.2迭代法迭代法的几何意义方程x=g(x)的求根问题，在几何上就是确定xy平面内直线y=x和y=g(x)的交点p*。xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1Q1Q2p2x2如此继续，曲线y=g(x)得到点列p1,p2,…其横坐标分别为x1,x2,…如果点列{pk}趋向于p*,则相应的迭代值xk收敛到所求的根x*。可是这样做一定会收敛吗？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0

5、x1p1考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]；(II)0L<1使得

6、g’(x)

7、L<1对x[a,b]成立则任取x0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列收敛于g(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)且存在极限k定理2-6①g(x)在[a,b]上存在不动点？令有根②不动点唯一？反证：若不然，设还有，则在和之间而③当k时，xk收敛到x*？证明：④⑤⑥可用来控制收敛精度L越收敛越快小注：定理条件非必要条件，可将[a,b]缩小，定义局部收敛性：若在

8、x*的某领域B={x

9、

10、xx*

11、}有gC1[a,b]且

12、g’(x*)

13、<1，则由x0B开始的迭代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。示例求代数方程方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的实根方法一：迭代格式为x3=2x+5，即构造迭代序列收敛，取x0=2，则：x1=2.08008x2=2.09235x3=2.094217x4=2.094494x5=2.094543x6=2.094550精确解为x=2.094551481502方法二：迭代格式为2x=x3-5，即构造迭代序列不收敛x0=2x1=1.5x2=-0.8125x3=-2.76819x4=-13.

14、10613x5=-1128.12437x6=-7.17862E+08x7=-1.84966E+26运算结果：§2.3收迭代法的加速xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)一般地，有：在xk+1=g(xk)迭代的每一步中，都用Aitken方法加以改进能加速收敛。而且对某些不收敛的情况，用Aitken方法还有可能收敛。Aitken加速：解：若迭代格式为2x=x3-5，构造迭代序列不收敛。用Atiken方法加以改进。示例求代数方程方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的实根k021.5-0.81252.13793103412