方程求根(计算方法)

《方程求根(计算方法)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、计算方法(力学系本科生)第二章方程求根(Rootsfinding)§2.1问题的提出第二章方程求根§2.1问题的提出实际问题f(x)=0,f:R→R定义：如存在x*使得f(x*)=0则称x*为方程的根或函数f(x)的零点。特别地，如果m=1x*为f(x)=0的单根或f(x)的单零点m>1x*为f(x)=0的m重根或f(x)的m重零点§2.1问题的提出f(x)是n次代数多项式f(x)=0是n次代数方程f(x)是超越函数f(x)=0是超越方程§2.1问题的提出例如:1.n次代数方程:2.超越方程:§2.1问题的提出Re

2、marks:1.非线性方程的根可为实根或复根；复根总是共轭出现。2.Galois(伽罗瓦)在1830年就已经从理论上证明对于次数高于4次的代数方程，其根不能用方程系数的解析式表示；一般的超越方程更没有解析的求根公式！！！！！！！1。§2.1问题的提出3.根的个数。n次代数方程有?个根(包括实根和复根)n为奇数时,至少有一个根是实根对于超越方程,根可能0~无穷个§2.1问题的提出方程求根步骤(1)对给定区间进行扫描,确定仅存在单根的区间,此区间内的任意一点可视为根的近似值。(2)用迭代方法使根精确到所要求精度。§2.

3、1问题的提出扫描流程§2.1问题的提出【历史注记】人们很早就探索了高次方程的数值解的求法。巴比伦泥板中有平方表和立方表，利用它们可以解某些特殊的二次和三次方程。中国古人相当系统地解决了求高次方程数值解的问题，《九章算术》以算法形式给出了二次方程及正系数三次方程正根的具体计算程序；7世纪王孝通也给出了求三次方程正根的数值解法；11世纪贾宪在《黄帝九章算法细草》中创“开方作法本源图”,用“立成释锁法”解三次和三次以上高次方程,同时他又提出一种更为简便的“增乘开方法”；13世纪秦九韶在《数书九章》中的“正负开方术”最后完

4、成，提供了一个用算筹布列解任何次数字方程的可行算法。§2.1问题的提出阿拉伯人对高次代数方程的数值解法亦有研究，花拉子米(9世纪)第一个给出了二次方程的一般解法,奥马海亚姆(1100年)给出了一些特殊三次方程的解法。1541年塔尔塔利亚得到三次方程的一般解法。1545年卡尔达诺在其名著《大术》一书中发展了塔尔塔利亚的这一成果，并记载了费拉里得到的四次方程的一般解法。牛顿在1736年出版的《流数法》一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解法,1690年Raphson也提出了类似的方法，它们的结合就是现代常用的方法

5、－牛顿法(也叫Newton-Raphson方法)。它是一种广泛用于高次代数方程求解的迭代法，亦称为切线法，并不断产生新的变形,§2.1问题的提出如修正牛顿法，拟牛顿法等。1797年，高斯给出“代数基本定理”，指出高次代数方程根的存在性。1819年，霍纳提出求高次代数方程数值解的另一种方法－－霍纳法，其思想及计算程序与秦九韶的方法近似，类似的方法鲁非尼在1804年也提出过，霍纳法也有广泛的应用，它的现代改进形式叫劈因子法。现在常用的代数方程数值解法还有伯努利法和劳斯表格法。§2.1问题的提出有多种数值算法可以求解非线

6、性方程，我们在本章将学习其中得几种，它们是：二分法(bisectionmethod)迭代法(iterationmethod)牛顿法(Newtonmethod)牛顿下山法(Newtondownhillmethod)。牛顿(1)牛顿(NewtonIsaac1643.1.4-1727.3.31)：英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于林肯郡伍尔索普，卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书，1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上受教于巴罗。1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡，1665－1666年做出流数法、万有引力

7、和光的分析三大发明，年仅23岁。1667年回剑桥在三一学院执教。1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。他在数学上以创建微积分学而著名，其流数法始于1665年，系统叙述于《流数法和无穷级数》(1671年完成，1736年出版)，首先发表在《自然哲学的数学原理》(1687)中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点表示流动变化率。讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆

8、运算，确定了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分学基本定理。此外，他还论述了有理指数的二项式定理(1664年)，n次代数方程根的m次幂和的公式(1707年)，数论、解析几何学、曲线分类、变分法等问题。在物理学上发现了万有引力定律(1666-1684)，并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并牛顿(2)亲手制