非线性方程求根教学教材.ppt

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1、非线性方程求根假设接收的信息如表5.1.1所示。请设法确定R点的位置。图5.1.2卫星分布图表9.1.1GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组,当时就是单个方程..其中可以是代数方程，也可以是超越方程。使成立的x值称为方程的根，或称为的零点。科学与工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微（积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程，也总是将

2、问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外，大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解，一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在后面讨论。1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？3．根的精确化。f(x)=0（5.1.1）1.根的存在性定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*。定义：如果存在使得，则称为方程（5.1.

3、1）的根或函数的零点。若其中为正整数，则当m=1时，称为方程（5.1.1）的单根或函数的单零点。当时，称为方程（5.1.1）的m重根或函数的m重零点。2.根的搜索(1)图解法（利用作图软件如Matlab)(2)解析法(3)近似方程法(4)定步长搜索法（1）画出f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的位置。（2）从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值，若那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或作为根的初始近似。x*abf(x)开始读入a,ha

4、x0f(x0)y0x0+hx0f(x0)y0>0打印结束否是继续扫描例1：考察方程x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋ab或不能保证x的精度abx0x1x*§2二分法执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x0)。3．判断若f(x0)=0，则x0即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x0]，b1=x0,a1=a;（2）若f(x0)与f(a)同号，则知解位于区间[x0,b]，a1=x0,b1=b。反复执行

5、步骤2、3，便可得到一系列有根区间：4、当时，停止；即为根的近似。当时，，即这些区间必将收缩于一点，也就是方程的根。在实际计算中，只要的区间长度小于预定容许误差就可以停止搜索，即然后取其中点作为方程的一个根的近似值。注：例1证明方程存在唯一的实根用二分法求出此根，要求误差不超过。解：记，则对任意，因而，是严格单调的，最多有一个根，所以，有唯一实根又因为用二分法求解，要使，只要解得，取。所以只要二等分7次，即可求得满足精度要求的根。计算过程如表5.2.1所示kf(ak)及符号f(xk)及符号f(bk)及符号012345670

6、(－)0(－)0(－)0(－)0.0625(－)0.0625(－)0.078125(－)0.0859375(－)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.0625(－)0.09375(+)0.078125(－)0.0859375(－)1(+)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.125(+)0.09375(+)0.09375(+)0.09375(+)表5.2.1所以，①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢二分法的优缺点问题虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程单

7、根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并且不能求重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求解方程根的主要方法是迭代法。使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为：(1)迭代格式的构造；(2)迭代格式的收敛性分析；(3)迭代格式的收敛速度与误差分析。§3迭代法1．简单迭代法f(x)=0x=(x)等价变换其中(x)是连续函数。方程（5.3.1）称为不动点方程，满足（5.3.1）式的点称为不动点，这样就将求（5.3.1）的零点问题转化为求的不动点问题。称这种迭代格式为不动点迭代。以不动点方程为原型构造迭代格式例3：求方程的一个根

8、.构造迭代格式x1=0.4771x2=0.3939…x6=0.3758x7=0.3758解：给定初始点xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1定理2如果(x)满足下列