计算方法非线性方程求解ppt课件.ppt

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1、第二章非线性方程数值解§1基础知识求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。此类问题在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。§2二分法原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*2xx*误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。迭代法是一种重要的逐次逼近方法

2、。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。§2迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：,…,,….迭代公式若收敛，即存在x*使得，且连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。从一个初值出发，计算xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(II)0L<1使得则任取x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的序列

3、收敛于(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)k考虑方程x=(x),(x)C[a,b],若定理1注2注1②不动点唯一反证：若不然，设还有，则而③当k时，xk收敛到x*？令有根证明：①(x)在[a,b]上存在不动点④⑤⑥连续注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：两个迭代值组合的方法：三个迭代值组合的方法：xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0z0P(y0,z0)§3牛顿法引入：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间。将(x*x

4、0)2看成高阶小量，则有：xyx*x0（fC1，f’(x*)0）单根情形定理1（收敛的充分条件）设fC2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；(3)选取x0[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。定理2（局部收敛性）设fC2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足证明：Newton’sMethod

5、事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)0，则令可得结论。定理3（全局收敛性定理）设fC2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f’(x)0,f”(x)0；(3)则任取x0[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。重根情形原理：若由xk得到的xk+1不能使

6、f

7、减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得

8、§4§5