《系统的稳定性》PPT课件.ppt

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1、第七章系统的稳定性引　言本章内容：介绍线性定常系统稳定性的基本概念；重点讨论两种常用的稳定性判据：劳斯稳定判据和乃奎斯特稳定判据；最后介绍系统的相对稳定性及其表达形式。稳定的摆不稳定的摆稳定性定义：如果系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态，则该系统是稳定的，反之，如果系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或发生持续振荡，则系统是不稳定的。一、稳定性的概念扰动去除后系统的输出：1：回到原来的平衡状态------稳定2：发散的震荡------不稳定3：持续震荡------不稳定（临界稳定）4：达到新的平衡状态---

2、--（临界稳定）稳定性是系统固有的特性，与系统的输入无关。线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，而与扰动信号无关，它决定于瞬态扰动消失后，暂态分量是否衰减。从某种角度也可以这样定义：一个稳定的系统是输出响应有界的系统。也就是说，若系统在有界输入或干扰的作用下，其响应的幅度也是有界的，则称系统是稳定的。二、稳定性的充分必要条件对于线性系统，稳定性同闭环传递函数极点的位置有关。设线性定常系统的微分方程为在初始条件不为零的条件下取拉氏变换，得系统的特征方程为此时系统为稳定的系统。反之，若特征根pi具有正实部，则零输入响应就会随时间的延长而发散，即此时系统为不稳定的系统。暂态分量

3、的是否衰减，决定于系统闭环传递函数的极点(即系统的特征根)在[s]复平面上的分布系统稳定的充分必要条件是：系统的全部特征根都具有负实部。由于系统的特征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传递函数的全部极点均位于[s]复平面的左半平面。如果所有极点都分布在[s]复平面的左半平面，系统的暂态分量将逐渐衰减为零，则系统是稳定的；如果有共轭极点分布在虚轴上，则系统的暂态分量作等幅振荡，系统处于临界稳定状态；如果有闭环极点分布在[s]复平面的右侧，系统具有发散振荡的分量，则系统是不稳定的。第二节Routh-Hurwitz稳定判据劳斯判据也称代

4、数稳定判据，它是基于特征方程根与系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，以此来判断系统的稳定性。一、系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：由根和系数的关系可知，若使全部特征根均具有负实部，系统必须满足：特征方程的各项系数ai≠0。特征方程的各项系数ai的符号都相同。在控制工程中，一般取a0为正值。系统稳定的必要条件为：特征方程的各系数ai>0。二、劳斯(Routh)稳定判据设系统的特征方程为将系统特征方程的n+1个系数排列成下面形式的行与列，称为劳斯数列。每一行的元素计算到零为止。为简化运算过程，可以用一正整数去乘以或除某一行

5、的各项。系统满足稳定性的必要条件：所有系数ai均为正值。劳斯稳定判据给出系统稳定的充要条件是：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。劳斯稳定判据还指出：劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。例如：+++++没有不稳定根（稳定）++---有一个不稳定根(不稳定)++-++有两个不稳定根(不稳定)解：(1)该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2)列劳斯列表例5－1已知系统的特征方程为各元素乘以2各元素乘以9第一列元素变号两次，因此，该系统有两个正实部的特征根，系统不稳定。1.劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但该

6、行其余元素不全为零几种特殊情况：解决方法：可以用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数ε趋于零，再按照前述方法对系统稳定性进行判别。系统不稳定，有两个根位于[s]右半平面。例5－2已知系统的特征方程为用劳斯判据判断系统的稳定性。解(1)该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2)劳斯列表如下2）用s=1/p代入原特征方程式，得到一个新的含p的多项式，再对此p多项式应用劳斯判别法，p的不稳定根数等于s的不稳定根数。3）用s+a（a为任意正数）乘以原特征方程式，得到一个新的特征方程，再用劳斯判据。在这种情况

7、下，可以用该零行的上一行元素构成一个辅助方程，取辅助方程的一阶导数所得到的一组系数来代替该零行，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后再按照前述方法进行判别。对辅助方程求解可得到对称根。2.劳斯数列中某一行的元素全部为零这种情况意味着在s平面中存在着一些对称于虚轴的根：1）一对（或几对）大小相等符号相反的实根；2）一对共轭虚根；3）呈对称位置的两对共轭复根。解(1)该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系统稳定的必要条件。(2)列劳斯表如下例5－3已知系统的特征方程为用劳斯判据判断系统的稳定性。表中