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1、§1.1.3导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率Z间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像育•观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.教学过程：一、创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=于（兀）在兀=x0处的瞬时变化率，反映了函数），=/（X）在x=x0附近的变化情况，导数/Vo）的几何意义是什么呢？二、新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,S代（九，/（£））（〃=1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋
2、近于点P（兀°J（兀°））时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2们发现，当点P沿着曲线无限接近点P即心-»0吋，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：（1）割线PP的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？（2）切线的斜率R为多少？容易知道，割线ppl（的斜率是kn='/（%）匚小•））,当点乙沿着曲线无限接近点P时，kn£—兀（）无限趋近于切线PT的斜率kf^k=im/（兀寸心）二/（勺）=广（兀。）心->0Ax说明：（1）设切线的倾斜角为Q,那么当心->0吋，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某
3、点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在x=X。处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关；2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解.如有极限，则在此点有切线，口切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线；3）曲线切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，其至可以无穷多.（二）导数的几何意义函数y=/⑴在兀=Xo处的导数等于在该点（X0,/（X0））处的切线的斜率，即广仇）=恤如空上如2*△ytoAr说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点兀处的变化率广（勺）=lim,/（-丄~山）二/（血）=£得到曲线在点心toA
4、x（x0,/（x0））的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程•（三）导函；山函数y=/（兀）在x=兀°处求导数的过程可以看到，当x=心时，广（心）是一个确定的/(兀+Ax)-/'(x)Ar数,那么，当兀变化吋，便是%的一•个函数，我们叫它为/（x）的导函数.记作:广（兀）或yf,即广（兀）=yf=limAxtO注：在不致发生混淆吋,导函数也简称导数.（四）函数.f⑴在点心处的导数广（勺）、导函数广⑴、导数之间的区别与联系（1）函数在一点处的导数/Vo），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变最之比的极限，它是一个常数，不是变数.⑵函数的导数，是指某一区间内任意点只而言的，就是函数
5、f（x）的导函数.（3）函数/（兀）在点处的导数f（x°）就是导函数广（劝在x=x0处的函数值，这也是求函数在点心处的导数的方法之一.三、典例分析例1⑴求曲线），=/（x）=X2+1在点P（l,2）处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点（1,3）处的导数.少"口[（1+心广+1]-（「+1）]•_2Ax+A,v2解：⑴yIlim=lim=2山t（）Ax山Ax所以，所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为y—2=2(兀—1)即2兀—y=03x2-3-123(x2-I2)(2)因为yrI.=lini=lim=lim3(x+1)=6x->1%—
6、x->l兀—]所以，所求切线的斜率为
7、6,因此，所求的切线方程为y—3=6(兀一1)即6兀—y—3=0例2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?(%)=-4.9x2+6.5兀+10,根据图像,请描述、比较曲线/?("在心、八、乙附近的变化情况・解：我们用曲线/?(『)在心、八、乙处的切线，刻画曲线/?(r)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当r=r0吋，曲线/?(r)在心处的切线厶平行于x轴，所以，在r=心附近曲线比较平坦，儿乎没有升降・(2)当r=儿时,曲线h⑴在r,处的切线/,的斜率“)<0,所以，在1=1.附近曲线下降，即函数A(x)=-4.9x2+6.5x4-10在/=人附近单调递减.(
8、3)当f=t2时，曲线h(t)在t2处的切线12的斜率hr(t2)<0—所以，在t=t2附近曲线下降，BP函数/?(x)=-4.9疋+6.5x+10在t=t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线厶的倾斜程度小于直线12的倾斜程度,这说明曲线在人附近比在12附近下降的缓慢.例3如图3.1-4,它表示人体血管中药•物浓度c=/⑴(单位：mg/mL)随时间/(单位:min)变化的图象.根据图像，估idr=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬0.30.60.70.80.91.0
