复数的几何意义--教案.doc

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1、复数的几何意义教学目标1.了解复数的几何意义，会用复平血内的点和向量来表示复数。2.了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。教学重点复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。教学过程前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，木节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点來表示，那么，复数是占也能用点来表示呢?二、学生活动知识回顾:①形如d+仞的数叫复数，通常用字母Z表示,I实数叫做复数的实部与虚部。复数—+加虚数（Z?=0）（力工0）（当。=0吋为纯虚数）

2、②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等a+bi=c+di<=>a-cb=d问题1复数相等的充要条件表明，任何一个复数a+bi都可以由一个有序实数对@4惟一确定，而有序实数对⑺上）与平面肯角坐标系屮的点是一一对应的，那么，我们怎么用平曲内的点来表示复数呢?问题2我们知道平面肓角坐标系屮的点A与以原点0为起点、A为终点的向量04是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？三、建构数学师生共同活动：1.在平面直角坐标系xOy屮，以复数z=a+bi的实部d为横坐标、虚部b为纵坐标就确定了点Z(a,b),我们可以用点Z(a,b)来表示复数a+bi,这就是复数的几何意义。2.

3、建立了岚角坐标系来表示复数的平面叫做复平面(也称为高斯平面)，兀轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。1.因为复平面内的点Z(a,b)与以原点。为起点、Z为终点的向量0Z—一对应(实数0这也是复数的几何意义。与零向量对应)，所以我们也可以用向量0Z来表示复数a+bi,2.根据上面的讨论，我们可以得到复数z=a+bi.复平面内的点Z(a,b)和平面向量旋这间的关系(如图)。今后,常把复数z=。+bi说成点Z或向量0Z(并且规定相等的向量表示同一个复数)3.相对于复数的代数形式z=a+bi，我们把点Z(a,b)称为复数z的几何形式，向量0

4、Z称为复数的向帚形式。四、数学运用运用1(1)例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4,2+,,—i,—1+引，3—2/问题3我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴与这个实数对应点到原点的距离,任何一个向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应地，我们可以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？向量迈的模叫做复数z=a+bi的模（或绝对值），记作

5、z

6、或

7、。+仞

8、。由模的定义可知习=0+仞

9、=yla2+h2。复数的模表示复平面内该点到原点的距离。运用2（1）例2已知复数召=3+令，込2=3—4/,?3=-1+5»试比较它们的模的大小思考：%1两复数

10、的模能比较大小，两复数能比较大小吗？%1勺与5两复数有什么关系？它们的模有怎样的关系？能推广到一般情形，并找到一些性质吗？（2）例3设zwC满足下列条件的点Z的集合是什么图形？②2v乙＜3问题4既然复数可以川复平面内的向量來表示，那么，复数的加法有什么几何意义呢？它能像向量加法一样，用作图的方法得到吗？学生动手用向量加法的平行四边形法则作图求解（如图3—3—6）。这就是复数加法的意义。问题5你能发现复数减法的儿何意义吗？两个复数的差的模有什么儿何意义?结论：复数可以用平面向量来表示，复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到。两个复数的旁的模就是复平血内与这两个复

11、数对应的两点间的距离。同时，复数加减法的法则与平面向最加减法的坐标形式也是完全一致的。不难验证向量的“数乘”运算与复数屮“实数乘以复数”类似，但对于向量的数量积，在复数屮找不到类似的运算。五、回顾反思1.由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式，这是由一维向二维的联想，同时实现了从“数”到“形”的转化。类比平面向量的加减法，又得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识。2.通过复数的几何意义与复数加减法几何意义的学习，体会数形结合的思想。复数作为一种新数学语言，也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能。六、课后作业

12、1.第69页练习42.第70页习题3.3的1,2