博弈论与经济全套配套课件于维生 第8章 演化博弈.ppt

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1、第8章演化博弈在经典博弈论中，假设参与人具有使自己支付最大化的主观意识与对于对手策略的最优反应能力，在实际中，这种假设可能是不现实的。譬如在“象棋”中，棋手不可能在每一步都能够采取最优的反应行动。因而有必要把参与人的完全理性行为假设推广为不完全理性行为的假设。在演化博弈中，认为参与人的选择行为可以依据前人的经验、学习与模仿他人行为、受遗传因素的决定等。因而演化博弈把具有主观选择行为的参与人扩展为包括动物、植物在内的有机体，动植物参与者的支付可被了解为某种适应程度。把博弈论的分析与应用从研究人类的竞争行为扩展为研究有机体的策略互动关系。这个领域的开

2、创性工作是由英国生物学家约翰·梅纳德·史密斯（JohnMaynardSmith）和G.R.普里斯（G.R.Price）1973年进行的。演化博弈现在正逐渐被广泛应用于社会经济学领域。8.1单总体演化博弈的演化稳定策略单总体演化博弈设在单总体的总体内，每个成员或个体都采用一个混合策略。这里是有限个纯策略的凸组合，此处，。如果因某种原因，总体中部分个体发生了变异，采用另一个策略，其余部分个体仍采用原策略，这时一个个体所面对的对手将以的概率使用,以概率使用。如果个体使用所获的支付大于使用所获的支付,则说策略是演化稳定策略（Evolutionarysta

3、bleStrategy）,简记为ESS。演化稳定策略刻画了这种策略面对微小的变异的稳定性。单总体演化博弈是从该总体中随机抽取2个个体进行的博弈。可用2人有限对称博弈描述它。其中，，。单总体演化稳定策略(ESS)的定义.定义8.1如果对任何混合策略，存在，使（1）对任何成立，则称为演化稳定策略(ESS).定义8.1中表示参与人1的期望支付。即，为参与人1的支付矩阵。由于关于与是双线性的，即满足，因而（1）等价于（2）关于ESS的一个等价命题定理8.1是ESS的充要条件是它满足以下1阶与2阶最优反应条件：（1）对于，。（2）对于，若,则。证明必要性。

4、若（2）式对成立，取，立知1阶最优反应条件成立。对于，若使成立，由（2）式立知2阶最优反应条件成立。充分性。若1阶与2阶最优反应条件成立，对，如果，当充分小时，则（2）式成立。如果，且时，则（2）式也成立。由定理8.1的1阶最优反应条件（1）知，若为ESS，必为纳什均衡策略。命题8.1若为G的严格纳什均衡，则为ESS。例8.1在囚徒困境问题中，（坦白，坦白）是严格纳什均衡，因而“坦白”是ESS。它表明演化稳定性并不排除低效率均衡策略。命题8.2对单总体演化博弈的支付矩阵进行局部变换，即任何一列加上一个常数，ESS不变。命题8.2成立的原因是ESS

5、可由支付差所决定。8.2单总体演化稳定策略的性质与求解1.单总体演化博弈的性质设为一混合策略。构成的纯策略被称为与相适应的纯策略。所有与相适应的纯策略集合称为的支集，记为。性质1对于单总体演化博弈G的任何ESS，若，则。证明因（*），为的第行.因为ESS，故有，对成立。又因,故有.设，不妨。必有，否则，，与（*）相矛盾。这样,,.性质2设为单总体演化博弈的ESS，为的纳什均衡策略，则。特别，的两个ESS的支集间没有包含关系。证明若，由性质1知，对成立。这样，对，上式也成立。因此。因为ESS，又，因而，这与为纳什均衡相矛盾。由性质2立即可得以下命题

6、。命题8.3若为单总体演化博弈的内点ESS，即的分量均为正数，则为的惟一的ESS。我们可用以下两个命题确定纯策略意义下的ESS。命题8.4若单总体演化博弈的支付矩阵中元素，，即对角元素在第列中最大，则为ESS。证明：对于，。即为的严格纳什均衡，从而为的ESS。由命题8.4知，在例2.12的“交通规则”博弈中，由于支付矩阵为。因而与都是该博弈的ESS。而混合策略纳什均衡策略不是ESS。对例2.13“狩猎博弈”有相同的结论。命题8.5若，，且对于满足的，有，则为ESS。仅就3阶支付矩阵说明此命题成立。不妨中元素均为正数。设。按命题假设有，，。对任何策

7、略，有。，故有。若对,有,则命题结论得证.否则,存在使或,必有,否则上式不成立.于是.下面验证命题8.6设单总体演化博弈的支付矩阵满足或。若没有纯策略ESS。则为的惟一的ESS，其中。证明对进行局部变换，可得，其中。因没有纯策略ESS，且，有一成立，故同时成立。否则由命题8.4知存在纯策略ESS。由表2-1知有惟一的混合策略纳什均衡，。故定理8.1中1阶最优反应条件成立。下面证明对，有。实际，令。为开口向下的抛物线，且判别式，故对，，从而。对于例2.21给出的斗鸡博弈，支付矩阵仅有惟一的ESS。对于例2.26的公共物品提供博弈,如果,支付矩阵该博

8、弈有惟一的ESS。2.单总体演化博弈的ESS设经局部变换后的单总体演化博弈的支付矩阵为1.。由表2-1知，此时该博弈的纯纳什均衡为，及混