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1、第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第十章9/7/2021高等数学课件一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得:“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理在有界闭域上连续,则
2、存在使得V为的体积,积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法假设函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算方法1和方法2是重点和根本，方法3为快速法。的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束连续，9/7/2021高等数学课件方法1.投影法(“先一后二”)则三重积分可化为记作机动目录上页下页返回结束如果空间积分区域可表示为9/7/2021高等数学课件例1.求解:上曲面为
3、V是由柱面机动目录上页下页返回结束··9/7/2021高等数学课件例2.求柱面解:上曲面为的体积，机动目录上页下页返回结束····9/7/2021高等数学课件方法2.截面法(“先二后一”)为与z垂直的平行截面的区域.则三重积分可化为记作机动目录上页下页返回结束如果空间积分区域可表示为9/7/2021高等数学课件例3.计算三重积分解:用“先二后一”机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件例4设V为由以下曲面围的区域:解：对应截面区域:使用截面法计算对于每一个机动目录上页下页返回结束练习：先对x后对y定限9/7/2021高等
4、数学课件投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件其中为三个坐标例4.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含多种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件解机动目录上页下页返回结束例5化三重积分为三次积分，其中积分区域为由曲面
5、及所围成的闭区域.由得交线投影区域9/7/2021高等数学课件动手题计算解一：（投影法）请分别用两种方法进行计算。机动目录上页下页返回结束····9/7/2021高等数学课件动手题计算解二：（截面法）请分别用两种方法进行计算。机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件1.将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,机动目录上页下页返回结束yx9/7/2021高等数学课件2.求其中是由半球面提示:与锥面机动目录上页下页返回结束区域如图所示，使用“先二后一”：因为对称性9/7/2021高等数学课件3.计算三重
6、积分所围成.由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!宜采用“先一(y)后二(x,z)”较好.机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:机动目录上页下页返回结束···9/7/2021高等数学课件推广:换元积分公式三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:雅可比行列式则9/7/2021高等数学课件2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:特殊面举例圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件在柱面坐标系中体积元素
7、,因此其中机动目录上页下页返回结束由于9/7/2021高等数学课件其中为由例6.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体(第一卦限).机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件例7.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系机动目录上页下页返回结束球面双参数方程为9/7/2021高等数学课件在球面坐标系中体积元素机动目录上页下页返回结束则特殊面举例：球面半平面锥面9
8、/7/2021高等数学课件因此有其中机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件例8.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面机动目录上页下页返回结束9/7/2021高等数学课件例9.求曲面所围立体体积.解:由曲面
